[논문 리뷰] Wormholes in Quantum Mechanics

Herman Verlinde|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 05.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 29인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 위상공간 양자화로부터 유도된 1차원 양자 시스템의 괴저 분할 함수에 대해 기하적 경로적분 형식을 도입하며, $n$-겹 괴저 분할 함수가 열화학적 혼합 이중 상태(TMD 상태)의 $n$-번째 레니이 엔트로피와 정확히 일치함을 보여준다. 이 구성은 TMD 상태 내에서 고전적으로 상관된, 양자 얽힌, 고전적으로 상관없는 세 가지 유형의 양자 통계적 행동을 드러내며, 바이아라소로 대칭을 가진 2차원 양자장이론에서 히알로그래픽 AdS$_3$/CFT$_2$ dual을 재현한다.

ABSTRACT

We introduce a geometric path integral definition of wormhole partition functions in a general class of 1D quantum systems obtained by quantizing a phase space. We compute the wormhole partition function in a semi-classical limit and in some simple examples. The partition function of the n-fold wormhole is found to be identical to the n-th Renyi entropy of a thermal mixed state of the doubled system. This mixed state incorporates three types of quantum statistical behavior: classically correlated, quantum entangled, and classically uncorrelated. We apply our prescription to 2D CFTs with Virasoro symmetry and recover the holographic dual formulation in terms of AdS3 gravity.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 1차원 양자 시스템에서 위상공간 양자화로부터 유도된 괴저 분할 함수의 기하적 경로적분 정의를 수립하기 위해.
• $n$-겹 괴저 분할 함수가 이중 시스템의 열화학적 혼합 상태의 $n$-번째 레니이 엔트로피에 해당함을 보여주기 위해.
• 고전적 상관, 양자 얽힘, 고전적 무상관이라는 세 가지 유형의 양자 통계적 행동을 하나의 밀도 행렬 프레임워크 내에서 통합하기 위해.
• 바이아라소로 대칭을 가진 2차원 양자장이론에서 히알로그래픽 이중성을 특수한 경우로 복원하여, 복제 가설을 통해 AdS$_3$ 중력 기술을 재현하기 위해.
• 중력 시스템에 국한되지 않고, 비중력적 양자역학적 실현을 통해 괴저 기하학이 존재함을 보여주며, 이는 중력계에만 국한되지 않음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 경로적분을 통해 2차원 표면 $\Sigma$ 위의 장 $X^a$ 에 대해 괴저 분할 함수 $Z(\Sigma)$ 를 정의하며, $\int_\Sigma \Omega - \oint_{\partial\Sigma} H dt$ 를 작용으로 사용한다. 여기서 $\Omega$ 는 정확하지 않을 수 있지만 닫혀 있는 미분형식이다.
• 반경점 근사법을 사용하여 $n$-겹 트럼펫 기하학 $\Sigma_n$ 에 대해 $Z(\Sigma_n)$ 를 반고전적으로 계산한다. 이 경우 경로는 $n$ 개의 경계 성분을 가지며, 각각의 길이는 $\beta$ 이다.
• 정확한 계산을 위해, 대칭형식이 닫혀 있지만 정확하지 않은 군 다양체 위의 입자(예: $G=SL(2,\mathbb{R})$) 를 분석하여 경로적분에서 비자명한 위상구조를 가능하게 한다.
• 열화학적 혼합 이중 상태를 모델링하기 위해, $\rho_{\rm TMD} = \sum_j p_j \rho_j^L \otimes \rho_j^R$ 를 가정한다. 여기서 $\rho_j$ 는 섹터 $j$ 에서의 디세너시 상태에 대한 최대 혼합 상태이다.
• 복제 가설을 수립한다: $\text{Tr}(\rho_{\rm TMD}^n) = Z(\Sigma_n)/Z(D)^n$ 로서, TMD 상태의 레니이 엔트로피를 괴저 분할 함수와 연결한다.
• 위상공간을 초전도체 이론으로 매핑함으로써 바이아라소로 대칭을 가진 2차원 양자장이론에 이 형식을 적용하며, 아인슈타인-힐베르트 작용과 바이아라소 군 작용 간의 대응을 통해 AdS$_3$ 중력 이중성을 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비중력 양자 시스템에서 기하적 경로적분 형식을 통해 괴저 기하학을 정의할 수 있는가?
• RQ2 $n$-겹 괴저 분할 함수는 이중 양자 시스템에서의 양자정보 측정치인 레니이 엔트로피와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 열화학적 혼합 이중 상태 내에서 고전적으로 상관된, 양자 얽힌, 고전적으로 상관없는 세 가지 통계적 행동의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ4 중력 가정 없이 순수한 양자역학적 경로적분 구성으로부터 히알로그래픽 AdS$_3$/CFT$_2$ 이중성을 유도할 수 있는가?
• RQ5 대칭형식이 닫혀 있지만 정확하지 않을 때, 2차원 표면 $\Sigma$ 의 위상구조가 괴저 분할 함수 정의에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $n$-겹 괴저 분할 함수 $Z(\Sigma_n)$ 는 정확히 열화학적 혼합 이중 상태(TMD 상태)의 $n$-번째 레니이 엔트로피 $\text{Tr}(\rho_{\rm TMD}^n)$ 와 일치하며, 기하학적-양자정보 대응을 직접적으로 확립한다.
• TMD 상태는 세 가지 다른 통계적 행동을 포함한다: 열화학적 가중치 $p_j$ 를 통한 고전적 상관, $\rho_j^L \otimes \rho_j^R$ 의 구조를 통한 양자 얽힘, 각 섹터 내에서 디세너시이자 비얽힌 상태들로 인한 고전적 무상관.
• 바이아라소로 대칭을 가진 2차원 양자장이론에서 이 형식은 AdS$_3$ 중력 이중성을 재현하며, 3차원 중력의 초전도체 이론 기반과 기하 위상공간 경로적분이 일치한다.
• 2차원 양자장이론의 맥락에서 TMD 상태의 레니이 엔트로피는 $\text{Tr}(\rho_{\rm cft}^n) = \sum_j \frac{p_j^n}{N_j^{2n-2}}$ 로 주어지며, 여기서 $N_j$ 는 $j$-번째 섹터의 디세너시이다. 상호정보는 $I_{LR} = S_p(\beta)$ 로, 열화학적 엔트로피이다.
• 레니이 엔트로피의 보편적이고 캐시-독립적인 부분은 $\rho_j^L \otimes \rho_j^R$ 의 구조에서 기인하며, $N_j$ 에 의존하는 항들은 근접한 얽힘 기여를 나타낸다.
• 이 구성은 괴저 기하학이 양자중력에만 국한되지 않으며, 정확하지 않은 대칭형식을 가진 일반적인 양자 시스템에서도 자연스럽게 나타남을 보여주며, 히알로그래픽 특성에 대한 새로운 양자역학적 기원을 제공한다.