[논문 리뷰] Z_3 symmetry-protected topological phases in the SU(3) AKLT model

Takahiro Morimoto, Hiroshi Ueda외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 05.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1차원 SU(3) 스핀 체계에서 3×3 행렬을 사용하는 행렬 곱 상태(MPS)를 통해 Z₃ 대칭 보호 양자 토폴로지적(SPT) 상태를 구성한다. 이는 H²(Z₃×Z₃, U(1)) ≅ ℤ₃에 속하는 비자명한 코호몰로지 족에서 유도된다. 이는 이심성과 이중자기모멘트 항을 포함하는 SU(3) AKLT 해밀토니안으로, 다양한 결합 비율 범위에서 비자명한 Z₃ SPT 상태를 실현하며, iDMRG와 스트링 오더 파라미터를 통한 확인이 이루어졌다.

ABSTRACT

We study $\mathbb{Z}_3$ symmetry-protected topological (SPT) phases in one-dimensional spin systems with $Z_3 imes Z_3$ symmetry. We construct ground-state wave functions of the matrix product form for nontrivial $\mathbb{Z}_3$ phases and their parent Hamiltonian from a cocycle of the group cohomology $H^2(Z_3 imes Z_3,U(1))$. The Hamiltonian is an SU(3) version of the Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki (AKLT) model, consisting of bilinear and biquadratic terms of su(3) generators in the adjoint representation. A generalization to the SU($N$) case, the SU($N$) AKLT Hamiltonian, is also presented which realizes nontrivial $\mathbb{Z}_N$ SPT phases. We use the infinite-size variant of the density matrix renormalization group (iDMRG) method to determine the ground-state phase diagram of the SU(3) bilinear-biquadratic model as a function of the parameter $θ$ controlling the ratio of the bilinear and biquadratic coupling constants. The nontrivial $\mathbb{Z}_3$ SPT phase is found for a range of the parameter $θ$ including the point of vanishing biquadratic term ($θ=0$) as well as the SU(3) AKLT point [$θ=\arctan(2/9)$]. A continuous phase transition to the SU(3) dimer phase takes place at $θ\approx -0.027π$, with a central charge $c\approx3.2$. For SU(3) symmetric cases we define string order parameters for the $\mathbb{Z}_3$ SPT phases in a similar way to the conventional Haldane phase. We propose simple spin models that effectively realize the SU(3) and SU(4) AKLT models.

연구 동기 및 목표

• Z_N×Z_N 대칭 보호를 갖는 고계수 SU(N) 스핀 사슬로 AKLT 구성법을 일반화하기 위해.
• 1차원 스핀 체계에서 SU(3) 대칭을 갖는 Z₃ SPT 상태를 식별하고 특성화하기 위해.
• 군 코호몰로지 기반으로 비자명한 Z₃ SPT 상태에 대한 명시적 행렬 곱 상태 파동함수와 부모 해밀토니안을 구성하기 위해.
• 헤일던 상과 유사한 스트링 오더 파라미터를 정의하여 Z₃ SPT 상태의 위상적 순서를 규명하기 위해.
• iDMRG를 사용하여 SU(3) 이중선형-이중자기모멘트 모델의 기본 상태 위상도를 도출하고 위상 전이를 규명하기 위해.

제안 방법

• H²(Z₃×Z₃, U(1)) ≅ ℤ₃에 속하는 비자명한 족에서 유도된 3×3 행렬을 사용하는 행렬 곱 상태(MPS)를 통해 Z₃ SPT 파동함수를 구성한다.
• SU(3) AKLT 해밀토니안을 su(3)의 고유 표현에서 정의된 비자명한 생성자 t^a를 사용한 이중선형-이중자기모멘트 모델로 정의하며, tr(t^a t^b) = (1/2)δ_ab로 정규화한다.
• 결합 비율 매개변수 θ에 따른 기본 상태 위상도를 계산하기 위해 무한체적 밀도 행렬 재규합화 방법(iDMRG)을 사용한다.
• 헤일던 상과 유사하게 비국소 변환을 활용하여 은폐된 질서를 탐지하는 스트링 오더 파라미터를 도입하여 Z₃ SPT 상태에 대해 정의한다.
• 전이 행렬 M = ∑_m A^m ⊗ (A^m)*를 유도하고, N=3일 때 고유값으로 1/N² 및 (N²−1)/N²를 포함함을 증명하여 위상적 순서를 확인한다.
• 이러한 MPS 및 해밀토니안 프레임워크를 통해 SU(N) AKLT 모델로 일반화하여 임의의 N에 대해 비자명한 Z_N SPT 상태를 실현함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Z₃×Z₃ 대칭을 갖는 1차원 SU(3) 스핀 사슬에서 Z₃ 대칭 보호 양자 토폴로지적 상태를 실현할 수 있는가?
• RQ2 3×3 행렬을 갖는 행렬 곱 상태는 군 코호몰로지 기반으로 비자명한 Z₃ SPT 상태를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 결합 비율 θ에 따른 SU(3) 이중선형-이중자기모멘트 모델의 기본 상태 위상도는 어떻게 되는가?
• RQ4 이심성과 이중자기모멘트 항이 없는 극한에서의 SU(3) AKLT 점이 모두 동일한 비자명한 Z₃ SPT 상태에 속하는가?
• RQ5 헤일던 상과 유사하게 스트링 오더 파라미터를 정의하여 SU(3) 사슬에서 Z₃ SPT 순서를 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 비자명한 Z₃ SPT 상태는 θ = arctan(2/9)인 SU(3) AKLT 점과 이중자기모멘트 항이 없는 극한(θ = 0)을 포함한 결합 매개변수 θ의 범위에서 실현된다.
• θ ≈ −0.027π에서 SU(3) 디머 상으로의 연속적인 위상 전이가 발생하며, 중심 임계수 c ≈ 3.2를 보이며 임계 행동을 나타낸다.
• SU(3) AKLT 해밀토니안은 su(3)의 고유 표현에서 정의된 생성자 항을 포함하는 이중선형-이중자기모멘트 모델로 구성되며, 고유 표현에서의 su(3) 생성자 항이 포함된다.
• 기본 상태는 인접한 격자 사이트 간의 쿼크-반쿼크 스핀 단위상 상태로 이루어진 밸런스 결합 고체(VBS)이며, 기본 표현과 쌍대 표현으로 변환되는 가상 자유도를 갖는다.
• Z₃ SPT 상태에 대해 헤일던 상과 유사한 스트링 오더 파라미터를 정의하였으며, 이는 은폐된 대칭 위반의 순서 파라미터로 기능한다.
• SU(N) AKLT 모델은 군 코호몰로지 데이터 H²(Z_N×Z_N, U(1)) ≅ ℤ_N를 기반으로 하여 임의의 N에 대해 비자명한 Z_N SPT 상태를 실현할 수 있도록 일반화된다.