[논문 리뷰] Zero dissipation limit to rarefaction wave with vacuum for 1-D compressible Navier-Stokes equations

Feimin Huang, Mingjie Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 09.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 점성 ε → 0 일 때 1차원 압축 가능한 등온 비압축 나비에-스토크스 방정식의 영산란한 한계를 진공을 포함하는 확산파로 설정한다. 확산파 구조에 기반한 척도화 및 에너지 분석을 사용하여 명시적인 감쇠률을 가진 균일 수렴을 증명한다: 1 < γ ≤ 2 에서는 O(ε^{1/6}|ln ε|^{-1/4}) 이고, γ > 2 에서는 O(ε^{1/(γ+4)}|ln ε|^{(1−γ)/4}) 이다.

ABSTRACT

It is well-known that one-dimensional isentropic gas dynamics has two elementary waves, i.e., shock wave and rarefaction wave. Among the two waves, only the rarefaction wave can be connected with vacuum. Given a rarefaction wave with one-side vacuum state to the compressible Euler equations, we can construct a sequence of solutions to one-dimensional compressible isentropic Navier-Stokes equations which converge to the above rarefaction wave with vacuum as the viscosity tends to zero. Moreover, the uniform convergence rate is obtained. The proof consists of a scaling argument and elementary energy analysis based on the underlying rarefaction wave structures.

연구 동기 및 목표

• 한계 올레르 해가 진공에 연결된 확산파를 포함할 때 1D 압축 가능한 나비에-스토크스 방정식의 영산란한 한계에 대한 기본적인 열린 문제를 해결하기 위해.
• 점성 ε → 0 일 때 점성 해가 진공을 포함하는 확산파로 균일 수렴함을 확립하기 위해.
• 점성 계수 ε 에 관하여 L∞ 노름에서 명시적인 수렴률을 도출하기 위해.
• 기존의 영산란한 한계 결과는 비진공 케이스에 국한되어 있었지만, 물리적으로 중요한 진공 시나리오로 확장하기 위해.
• 에너지 추정과 척도화 추론을 사용하여 진공 근처의 특이 행동을 다룰 수 있도록 영산란한 한계의 엄밀한 정당화를 제공하기 위해.

제안 방법

• 유동 해가 올레르 시스템에서 진공을 포함하는 확산파로 渐近 수렴하는 점성 근사 해를 구성하기 위해.
• 문제를 에너지 추정에 적합한 형태로 변환하기 위해 자가 유사 변수 τ = t 로 척도화 변환을 적용하기 위해.
• 척도화된 변수 τ 에서의 에너지 추정을 사용하여, 기저가 되는 확산파 구조를 활용해 편차 항을 통제하기 위해.
• Sobolev 부등식과 보간 추정을 사용하여 밀도 및 운동량 편차의 L∞ 노름을 유계화하기 위해.
• 에너지 추정을 닫기 위해 편차 함수 φ 및 ψ(밀도 및 속도 편차)에 대한 사전 추정을 수립하기 위해.
• 편차 항의 감쇠와 스케일링 매개변수 μ = ε^a |ln ε| 및 δ = ε^a 를 조합하여 수렴률을 유도하기 위해, 여기서 a 는 감쇠를 최적화하기 위해 선택된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한계 올레르 해가 진공을 포함하는 확산파일 때 1D 압축 가능한 나비에-스토크스 방정식의 영산란한 한계를 정당화할 수 있는가?
• RQ2 ε → 0 일 때 점성 해가 진공을 포함하는 확산파로 수렴하는 최적의 수렴률은 무엇인가?
• RQ3 γ-법 압력 p(ρ) = ρ^γ / γ 에서의 다이아바틱 지수 γ 에 따라 수렴률은 어떻게 달라지는가?
• RQ4 에너지 방법과 척도화 추론을 사용하여 확산파의 진공 근처에서의 특이 행동을 다룰 수 있는가?
• RQ5 큰 시간 동안 포함된 시간에 대해 점성 해가 진공을 포함하는 확산파로 수렴하는 데 있어 균일한 수렴이 가능한가?

주요 결과

• 점성 ε → 0 일 때 1D 압축 가능한 등온 나비에-스토크스 방정식의 점성 해가 진공을 포함하는 확산파로 균일 수렴한다.
• 1 < γ ≤ 2 에서, 밀도의 L∞ 노름에서 수렴률은 O(ε^{1/6} |ln ε|^{-1/4}) 이고, 운동량의 경우 O(ε^{1/8} |ln ε|^{-1/2}) 이다.
• γ > 2 에서는 밀도의 경우 O(ε^{1/(γ+4)} |ln ε|^{(1−γ)/4}) 이고, 운동량의 경우 O(ε^{(γ+1)/(4(γ+4))} |ln ε|^{-1/2}) 이다.
• t ≥ h > 0 에서 시간에 대해 균일한 수렴이 이루어지며, 오차 유계는 ε^a |ln ε| 형태로 감쇠되며, 여기서 a > 0 는 γ 에 따라 달라진다.
• 작은 ε 에서 편차 노름이 유계로 유지됨을 보여줌으로써 사전 추정을 닫는다. 이는 척도화 및 에너지 가정의 타당성을 검증한다.
• 이 결과는 1D 압축 가능한 나비에-스토크스 방정식에서 진공을 포함하는 확산파에 대한 영산란한 한계에 대한 첫 번째 엄밀한 정당화를 제공한다.