[논문 리뷰] Zeros of random polynomials and its higher derivatives

Sung‐Soo Byun, Jaehun Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 26.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 다항식의 고차 도함수의 영점의 점차적 경험적 측도가 원래 다항식의 영점과 동일한 분포로 수렴함을 입증하며, 기존의 임계점(일阶 도함수)에 대한 결과를 고차 도함수로 확장한다. 저자들은 로그 잠재 이론과 대규모 편차 기법을 사용하여 i.i.d. 영점, 무작위로 제거되거나 추가된 영점, 2차원 쿨롱 가스 군집 등 다양한 랜덤 다항식 모델을 분석하여, 광범위한 조건 하에서 이 현상이 보편적임을 증명한다.

ABSTRACT

In this article we study the limiting empirical measure of zeros of higher derivatives for sequences of random polynomials. We show that these measures agree with the limiting empirical measure of zeros of corresponding random polynomials. Various models of random polynomials are considered by introducing randomness through multiplying a factor with a random zero or removing a zero at random for a given sequence of deterministic polynomials. We also obtain similar results for random polynomials whose zeros are given by i.i.d. random variables. As an application, we show that these phenomenon appear for random polynomials whose zeros are given by the 2D Coulomb gas density.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 다항식의 고차 도함수의 영점과 임계점 사이의 측도 등치 현상이 일반화되는지 확장하는 것.
• 이러한 측도 수렴 현상이 무작위로 제거되거나 추가된 영점을 가진 더 넓은 범주의 랜덤 다항식에 대해서도 성립하는지 조사하는 것.
• 일반 외부 포텐셜을 가진 2차원 쿨롱 가스 군집에 대해 이 행동의 보편성을 확립하는 것.
• 비원자적인 한계 측도에 대해 [19]에서 제기한 추측을 해결하기 위해 무작위로 제거된 영점에 대해 수렴을 증명하는 것.
• 랜덤 다항식 군집에서 영점과 임계점 사이의 통계적 쌍정의 이론적 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 고차 도함수의 영점의 한계 분포를 분석하기 위해 로그 잠재 이론과 평형 측도를 활용한다.
• 쿨롱 가스 군집에 대한 대규모 편차 원리를 적용하여 영점의 희귀 구성의 확률을 통제한다.
• 확률 공간을 일반적인 집합과 예외적인 집합으로 분해하며, 이 예외 집합의 측도는 지수적으로 작다.
• 고차 도함수의 영점 근처 행동을 연구하기 위해 $ L_n^k(z) = \frac{1}{k!} \frac{P_n^{(k)}(z)}{P_n(z)} $ 를 사용한다.
• 로그 잠재력과 측도의 비교를 통해 고차 도함수의 경험적 측도가 한계 측도로 확률 수렴함을 보인다.
• 외부 포텐셜의 강도 조건과 유계성 조건을 적용하여 한계 평형 측도의 존재성과 정칙성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 다항식의 $k$-번째 도함수의 영점의 한계 경험적 측도가 원래 다항식의 영점과 동일한 측도로 수렴하는가?
• RQ2 일반적인 랜덤 다항식 모델에서 영점과 임계점 사이의 측도 등치 현상이 고차 도함수로까지 확장되는가?
• RQ3 [19]에서 제기한 추측에 따르면 무작위로 영점이 제거되어도 측도 수렴이 유지되는가? 이는 비원자적인 한계 측도에 대해 성립하는가?
• RQ4 일반 외부 포텐셜을 가진 2차원 쿨롱 가스 군집에 대해 측도 등치가 유지되는가?
• RQ5 영점과 임계점 사이에 자연스러운 쌍정이 $O(1/n)$ 척도에서 수립될 수 있는가? 그리고 매칭 거리의 渐近 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해, 랜덤 다항식의 $k$-번째 도함수의 영점의 한계 경험적 측도는 원래 다항식의 영점과 동일한 한계 측도로 약한 수렴을 보인다.
• 1에너지가 유한한 i.i.d. 영점을 가진 랜덤 다항식의 경우, $k$-번째 도함수의 영점 분포는 원래 다항식과 동일한 한계 측도로 수렴한다.
• 원래 측도가 비원자적일 경우, 결정론적 수열에서 하나의 영점을 무작위로 제거한 다항식에 대해서도 이 현상이 성립하며, [19]에서 제기된 추측을 확인한다.
• 고차 도함수의 한계 측도가 그대로 유지됨을 보여주기 위해 $k$개의 무작위로 추가된 영점을 가진 랜덤 다항식으로도 결과가 확장된다.
• 일반 외부 포텐셜 $Q$ 를 가진 2차원 쿨롱 가스 군집에 대해, $k$-번째 도함수의 영점의 경험적 측도는 거의 확실히 평형 측도 $\sigma_Q$ 로 수렴한다.
• $|L_n^k(z)| < e^{-n\varepsilon}$ 인 확률은 $n \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하며, 이는 일반적인 경우에 고차 도함수가 영점 근처에서 0이 되지 않음을 의미한다.