[논문 리뷰] Zimmer's conjecture for actions of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$

Aaron Brown, David Fisher외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $C^2$ 동작에 대해 $ \mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 의 유한지수 부분군이 차원 $\leq m-2$ 의 닫힌 다양체 위에서 작용할 경우 Zimmer의 추측을 증명하며, 도함수의 균일한 초지수적 성장을 확보한다. 증명은 코컴팩트 케이스의 방법을 확장하여 Lubotzky-Mozes-Raghunathan 분해, 비발산성(unipotent) 궤도의 비발산성, 비균일 격자에 대한 강한 성질 (T) 을 사용하여 비균일 격자에 대한 기하적 통제를 도입하며, 궁극적으로 이러한 동작이 유한한 상을 가져야 한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We prove Zimmer's conjecture for $C^2$ actions by finite-index subgroups of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ provided $m>3$. The method utilizes many ingredients from our earlier proof of the conjecture for actions by cocompact lattices in $\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$ but new ideas are needed to overcome the lack of compactness of the space $(G imes M)/Γ$ (admitting the induced $G$-action). Non-compactness allows both measures and Lyapunov exponents to escape to infinity under averaging and a number of algebraic, geometric, and dynamical tools are used control this escape. New ideas are provided by the work of Lubotzky, Mozes, and Raghunathan on the structure of nonuniform lattices and, in particular, of $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ providing a geometric decomposition of the cusp into rank one directions, whose geometry is more easily controlled. The proof also makes use of a precise quantitative form of non-divergence of unipotent orbits by Kleinbock and Margulis, and an extension by de la Salle of strong property (T) to representations of nonuniform lattices.

연구 동기 및 목표

• 유한지수 부분군이 차원 $\leq m-2$ 의 다양체 위에서 $C^2$ 동작을 할 경우 도함수의 균일한 초지수적 성장을 확보하기.
• 코컴팩트 격자에서의 증명 전략을 비균일 격자, 특히 $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 로 확장하기 위해 $G/\Gamma$ 의 비콤팩트성으로 인한 도전 과제를 극복하기.
• 강한 성질 (T) 을 통해 연속적인 $\Gamma$-불변 리만계량을 유지함으로써 동작이 유한한 상을 가져야 한다는 것을 보여주기.
• 비균일 케이스의 핵심 사례에서 추측을 해결함으로써 비균일 격자에 대한 Zimmer 프로그램의 기초 단계를 마련하기.
• 비콤팩트 환경에서 리아프누프 지수와 측도의 탈출을 통제하기 위해 비선형 비발산성과 쿠스의 기하적 분해를 적용하기.

제안 방법

• 행렬군 $G$ 와 다양체 $M$ 의 곱을 $\Gamma$ 로 나누어 얻는 섬유다발 구조 $M^\alpha = (G \times M)/\Gamma$ 를 사용하여 $G$-동작을 $G/\Gamma$ 위의 콤팩트 섬유다발로 옮겨 동역학적 및 기하학적 도구를 적용한다.
• $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$-쿠스를 랭크-원 방향으로 분해하는 Lubotzky-Mozes-Raghunathan 분해를 적용하여 비콤팩트 영역의 기하학을 통제한다.
• Kleinbock과 Margulis 가 제시한 비발산성 궤도의 정량적 형태를 de la Salle 가 확장하여 측도와 리아프누프 지수의 무한대 방향 탈출을 방지한다.
• de la Salle 의 비균일 격자에 대한 강한 성질 (T) 을 적용하여 $M$ 에서 연속적인 $\Gamma$-불변 리만계량의 존재를 도출하며, 이는 $\Gamma$ 의 상이 유한함을 강제한다.
• Zimmer 의 코ycle 수퍼강성과 섬유기반 리아프누프 지수 분석을 사용하여, 차원 제약 조건 하에 최대 리아프누프 지수가 비영일 경우 모순을 유도한다.
• 확장되는 수평면 방향에서의 Følner 수열과 평균화 기법을 사용하여 도함수 성장률을 통제하고 균일한 초지수적 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 $\leq m-2$ 의 다양체 위에서 $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 의 $C^2$ 동작에 대해 도함수의 균일한 초지수적 성장을 확보할 수 있는가?
• RQ2 비균일 격자에 대해 $G/\Gamma$ 의 비콤팩트성은 어떻게 제어되어야 하며, 이는 동역학계에서 측도와 리아프누프 지수의 탈출을 방지하는가?
• RQ3 비균일 격자, 특히 $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 에 대해 [BFH] 의 코컴팩트 격자 전략을 어느 정도 적용할 수 있는가?
• RQ4 쿠스의 기하적 분해를 랭크-원 방향으로 사용하여 비발산성 및 대각선 흐름의 분석을 정교화할 수 있는가?
• RQ5 비균일 격자에 대한 강한 성질 (T) 이 $C^2$ 동작 하에서 연속적인 불변 계량의 존재를 암시하는가?

주요 결과

• 모든 $m \geq 4$ 에 대해, $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 의 유한지수 부분군이 차원 $\leq m-2$ 의 닫힌 다양체 위에서 작용하는 $C^2$ 동작은 도함수의 균일한 초지수적 성장을 갖는다.
• 차원 $\leq m-1$ 의 다양체 위에서 체적을 보존하는 $C^2$ 동작의 경우에도 동일한 균일한 초지수적 성장이 성립한다.
• de la Salle 의 비균일 격자에 대한 강한 성질 (T) 을 사용하여, 수렴 과정에서 양의 측도를 활용하여 연속적인 $\Gamma$-불변 리만계량의 존재를 도출한다.
• 이러한 동작의 상은 유한하다. $\mathrm{SL}(m,\mathbb{Z})$ 의 비발산 원소들은 어떤 컴팩트 리 군 안에서 유한한 상을 갖기 때문이다.
• 최대 섬유기반 리아프누프 지수가 비영일 경우, 차원 제약 조건과 Zimmer 의 코ycle 수퍼강성에 의해 모순이 도출된다.
• 측도의 약한-$*$ 극한이 $\mathrm{SL}(m,\mathbb{R})$-불변임을 증명하며, 이는 섬유 차원 제약 조건과 모순된다.