[論文レビュー] 0-cycles on singular schemes and class field theory

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異点が孤立する有限体上の射影的スキームに対して、0次サイクルのチャウ群とその正則部分のアーベル化された基本群の間の双対性同型を確立し、古典的類体論を特異的スキームへ拡張する。主な結果は、同型写像 $\theta^0_X: A_0(X) \xrightarrow{\sim} \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ であり、Bloch-Quillen 公式を導出し、特異点が孤立する場合の Kerz-Saito の結果を特徴数に制限なく簡単な証明が可能となる。

ABSTRACT

We show that the Chow group of 0-cycles on a singular projective scheme $X$ over a finite field describes the abelian extensions of its function field which are unramified over the regular locus of $X$. As a consequence, we obtain the Bloch-Quillen formula for the Chow group of 0-cycles on such schemes. We deduce simple proofs of results of Kerz-Saito for a class of surfaces without any assumption on ${ m char}(k)$.

研究の動機と目的

• 有限体上の滑らかでない射影的スキームへ幾何的類体論を一般化すること。
• 正則部分に沿って分岐しない関数体のアーベル拡大を、0次サイクルのチャウ群を用いて記述すること。
• 特異点が孤立する特異スキームにおける0次サイクルのBloch-Quillen 公式を確立すること。
• 特徴数に制限のないすべての状況で、Kerz-Saito の表面における0次サイクルとモジュラスに関する結果を、より簡潔に再証明すること。
• 双対性写像を構成する際に、余次元1で正則であることの必要性を明確にすること。

提案手法

• 正則開部分集合に対する類体論を用いて、写像 $\theta_X: {\rm CH}_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})$ を構成する。
• 次元に関する帰納法とLefschetz型定理を用いて、特異点が孤立するスキームに対して、写像 $\theta^0_X: A_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ が同型であることを証明する。
• Kato-Saito の一般化されたイデール類群を用いて、正則開部分集合 $U \subset X$ に対して $\pi^{{\rm ab}}_1(U)$ をモチーフ的コホモロジーと関連付ける。
• Bertini 型定理を応用し、一般の超平面切断をとることで、一般の場合を表面に還元する。
• $H^d(X, \mathcal{K}^M_d,X)$ と $H^d(X, \mathcal{K}_d,X)$ の間の同型を確立し、それらを次数写像を介して ${\rm CH}_0(X)$ に結びつける。
• Zariski-Nagata の定理を用いて、余次元 $\geq 2$ の補集合を持つ開部分集合の基本群が同型であることを示し、帰納的還元を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0次サイクルとアーベル化された基本群の間の双対性同型は、滑らかでない射影的スキームへ拡張可能か？
• RQ2 $\theta^0_X: A_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ の存在に必要な十分な条件は何か？
• RQ3 特異点が孤立する特異スキームにおいて、0次サイクルのBloch-Quillen 公式は成立するか？
• RQ4 Kerz-Saito の表面における0次サイクルとモジュラスに関する結果は、特徴数に制限なくより簡潔に再証明可能か？
• RQ5 双対性写像を構成するにあたり、余次元1で正則であることの仮定がなぜ本質的か？

主な発見

• $X$ が孤立特異点のみを持ち、余次元1で正則であるとき、写像 $\theta^0_X: A_0(X) \to \pi^{{\rm ab}}_1(X_{\rm reg})^0$ は有限群の同型である。
• このようなスキームにおいて Bloch-Quillen 公式が成り立つ：${\rm CH}_0(X) \xrightarrow{\sim} H^d(X, \mathcal{K}^M_d,X) \xrightarrow{\sim} H^d(X, \mathcal{K}_d,X)$。
• 系 1.3 により、$\overline{X}_{\rm reg}$ が単連結であれば、${\rm CH}_0(X) \cong \mathbb{Z}$ である。
• このようなスキームに対して、アーベル化写像 $AJ_X: A_0(X) \to {\rm Alb}_X(k)$ は全射である。
• 定理 1.5 (Kerz-Saito) の証明が、$\text{char}(k) \neq 2$ の仮定なしに簡略化され、すべての特徴数に拡張された。
• 余次元1で正則であることの仮定は必要不可欠である。反例により、それ以外の場合は双対性写像が成立しないことが示された。