[論文レビュー] 1D Dirac operators with special periodic potentials

Plamen Djakov, Boris Mityagin|Sabanci University|Jul 19, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1次元Dirac作用素のπ周期的ポテンシャルのクラス$X$を導入し、スペクトルギャップ$\gamma_n = |\lambda_n^+ - \lambda_n^-|$の崩壊速度のみによってポテンシャルの滑らかさが決定されることを示す。このようなポテンシャルは、$L^2([0,\pi], \mathbb{C}^2)$において根関数のリース基底を生成することを確立し、三角関数的ポテンシャルに対しては$|aA| = |bB|$のような明示的な条件が基底性を決定する。

ABSTRACT

For 1D Dirac operators Ly= i J y' + v y, where J is a diagonal 2x2 matrix with entrees 1,-1 and v(x) is an off-diagonal matrix with L^2 [0,π]-entrees P(x), Q(x) we characterize the class X of pi-periodic potentials v such that: (i) the smoothness of potentials v is determined only by the rate of decay of related spectral gaps gamma (n) = | λ(n,+) - λ(n,-)|, where λ(..) are the eigenvalues of L=L(v) considered on [0,π] with periodic (for even n) or antiperiodic (for odd n) boundary conditions (bc); (ii) there is a Riesz basis which consists of periodic (or antiperiodic) eigenfunctions and (at most finitely many) associated functions. In particular, X contains symmetric potentials X_{sym} (\overline{Q} =P), skew-symmetric potentials X_{skew-sym} (\overline{Q} =-P), or more generally the families X_t defined for real nonzero t by \overline{Q} =t P. Finite-zone potentials belonging to X_t are dense in X_t. Another example: if P(x)=a exp(2ix)+b exp(-2ix), Q(x)=Aexp(2ix)+Bexp(-2ix) with complex a, b, A, B eq 0, then the system of root functions of L consists eventually of eigenfunctions. For antiperiodic bc this system is a Riesz basis if |aA|=|bB| (then v \in X), and it is not a basis if |aA| eq |bB|. For periodic bc the system of root functions is a Riesz basis (and v \in X) always.

研究の動機と目的

• 1次元Dirac作用素のπ周期的ポテンシャルのクラス$X$を特定し、スペクトルギャップの崩壊速度がポテンシャルの滑らかさを完全に決定することを示すこと。
• 根関数系が$L^2([0,\pi], \mathbb{C}^2)$においてリース基底をなすための条件を確立すること。
• 自己随伴Schrödinger作用素に関する結果を、複素ポテンシャルをもつ非自己随伴Dirac作用素へと拡張すること。
• クラス$X$内での対称的、反対称的、三角関数的などのポテンシャル族を特徴づけること。
• スペクトルギャップの崩壊が固有関数および関連関数の構造を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• スペクトルギャップ$\gamma_n = |\lambda_n^+ - \lambda_n^-|$の崩壊速度によって滑らかさが決定されることを満たす、$\pi$周期的ポテンシャル$v = \begin{pmatrix} 0 & P \\ Q & 0 \end{pmatrix}$のクラス$X$を定義する。
• $[0,\pi]$上で周期的および反周期的境界条件を用いて、Dirac作用素$L = i\sigma_3 \frac{d}{dx} + v$の固有値問題を定義する。
• スペクトルギャップ解析と摂動論を用いて、$\gamma_n$の崩壊速度と$P$、$Q$の滑らかさとの関係を確立する。
• トレース公式とリゾルベント推定を用いて、$P$および$Q$のフーリエ係数で表される$\gamma_n$の両側評価を得る。
• 特定の三角関数的ポテンシャル$P(x) = ae^{2ix} + be^{-2ix}, Q(x) = Ae^{2ix} + Be^{-2ix}$を分析し、リース基底条件を特定する。
• 先行研究（例：[5], [4]）におけるスペクトルギャップの崩壊とリース基底性に関する結果を、非自己随伴Dirac設定に適応して用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルギャップ$\gamma_n$の崩壊速度は、1次元Dirac作用素のπ周期的ポテンシャルの滑らかさをどのように決定するか？
• RQ2 周期的ポテンシャルをもつDirac作用素の根関数系が、$L^2([0,\pi], \mathbb{C}^2)$においてリース基底をなすための条件は何か？
• RQ3 三角関数的ポテンシャル$P(x) = ae^{2ix} + be^{-2ix}, Q(x) = Ae^{2ix} + Be^{-2ix}$に対して、根系がリース基底であるための条件は何か？
• RQ4 自己随伴Schrödinger作用素に対するスペクトルギャップの崩壊基準を、複素ポテンシャルをもつ非自己随伴Dirac作用素へと拡張可能か？
• RQ5 対称性条件（例：$\overline{Q} = tP$）は、リース基底性と有限個の関連関数の存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• クラス$X$の$\pi$周期的ポテンシャルは、スペクトルギャップ$\gamma_n$の崩壊速度によって特徴づけられ、$P$および$Q$の滑らかさを完全に決定する。
• クラス$X$に属するポテンシャルに対して、根関数（固有関数および関連関数）の系は、$L^2([0,\pi], \mathbb{C}^2)$においてリース基底をなす。ただし、関連関数は高々有限個である。
• 三角関数的ポテンシャル$P(x) = ae^{2ix} + be^{-2ix}, Q(x) = Ae^{2ix} + Be^{-2ix}$に対して、$Per^-$境界条件では根系がリース基底をなすための必要十分条件は$|aA| = |bB|$である。
• $Per^+$境界条件では、係数にかかわらず根系は常にリース基底をなし、このようなポテンシャルは$X$に属する。
• $\overline{Q} = tP$（$t \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$）で定義される族$X_t$は、対称的（$t=1$）および反対称的（$t=-1$）ポテンシャルを含み、$X_t$内の有限ゾーンポテンシャルは$X_t$において稠密である。
• 本稿は、先行研究[4, 5]と著しく重複する手法と結果を示しているが、特にスペクトルギャップ推定とリース基底基準の使用に関して、複素ポテンシャルをもつDirac設定への適応というオリジナルの貢献を果たしている。