[論文レビュー] 2+1d Compact Lifshitz Theory, Tensor Gauge Theory, and Fractons

Pranay Gorantla, Ho Tat Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2022

Computational Physics and Python Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2+1次元コンパクトLifshitz場理論を、修正されたヴィライン形式を用いた2種類の異なる格子正則化によって研究し、それぞれ異なるグローバル対称性、異常、および基底状態デゲネラシーを明らかにした。1つの正則化が自己双対理論を導くこと、U(1)テンソルゲージ理論と結合された場合に移動制限付きのフラクトンを実現すること、およびフラクトン／ラインオン-弾性理論双対性の正確な格子実装を提供することを確立した。

ABSTRACT

The 2+1d continuum Lifshitz theory of a free compact scalar field plays a prominent role in a variety of quantum systems in condensed matter physics and high energy physics. It is known that in compact space, it has an infinite ground state degeneracy. In order to understand this theory better, we consider two candidate lattice regularizations of it using the modified Villain formalism. We show that these two lattice theories have significantly different global symmetries (including a dipole global symmetry), anomalies, ground state degeneracies, and dualities. In particular, one of them is self-dual. Given these theories and their global symmetries, we can couple them to corresponding gauge theories. These are two different $U(1)$ tensor gauge theories. The resulting models have excitations with restricted mobility, i.e., fractons. Finally, we give an exact lattice realization of the fracton/lineon-elasticity dualities for the Lifshitz theory, scalar and vector charge gauge theories.

研究の動機と目的

• 連続体の2+1次元コンパクトLifshitz理論がグローバル対称性のおかげで無限大の基底状態デゲネラシーを示すことを理解するために、2つの異なる格子正則化を構築し、比較する。
• 同じ連続体理論の異なる格子離散化が、どのように異なるグローバル対称性、異常、およびトポロジカル性質をもたらすかを明確にし、無関係な項が物理的に無視可能であるという仮定に疑問を呈する。
• 正則化されたLifshitz理論をU(1)テンソルゲージ理論と結合し、移動制限付きの励起状態（フラクトン）を実現し、その移動制限の性質を特定する。
• フラクトン／ラインオン-弾性理論双対性の正確な格子実装を提供し、スカラー電荷およびベクトル電荷ゲージ理論をLifshitz理論と結びつける。
• 奇妙なグローバル対称性を有する連続体場理論を定義する際の曇りを、それらの格子対応物を分析することで解消する。

提案手法

• 修正されたヴィライン形式を用いて、2+1次元コンパクトLifshitz理論を正方格子上で正則化し、トポロジカルおよびグローバル対称性構造を保存する。
• 2つの異なる格子理論を構築する：1つはスカラー場のラプラシアンに基づく（ラプラシアン $φ$-理論）、もう1つは電気双極子モーメントに基づく（双極子 $φ$-理論）で、それぞれ異なるグローバル対称性と基底状態デゲネラシーを持つ。
• 得られたU(1)テンソルゲージ理論のグローバル対称性（特に双極子対称性およびスカラー電荷対称性）を特定・分析し、その異常および欠陥の移動性を検討する。
• ゲージ不変な欠陥演算子および電荷分布に関するローレン卜多項式条件を用いて、トポロジカル欠陥（例：フラクトンやラインオン）の移動性を導出し、分析する。
• 欠陥演算子の空間並進における変換性をマッピングすることで、Lifshitz理論とテンソルゲージ理論の間の正確な双対性を確立する。
• 格子上での多項式表現を用い、欠陥がどの条件下でずらせるかを分析し、代数的数論（例：GCDおよびローレン卜多項式の既約性）を用いて移動制限を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2+1次元コンパクトLifshitz理論の異なる格子正則化は、グローバル対称性、異常、基底状態デゲネラシーにおいてどのように異なるか？
• RQ2 双極子対称性はコンパクトLifshitz理論において果たす役割は何か？ また、ラプラシアン正則化と双極子正則化の間でその構造はどのように異なるか？
• RQ3 正則化されたLifshitz理論をU(1)テンソルゲージ理論と結合することで、移動制限付きのフラクトンが出現するか？ その移動性は何かによって決定されるか？
• RQ4 2+1次元U(1)ラプラシアンゲージ理論において、正方格子上に有限個の電荷を有する粒子集合は、どのような条件下で剛体的にずらせるか？
• RQ5 フラクトン／ラインオン-弾性理論双対性は、どのような条件下で格子上で正確に実現可能か？ また、この双対性における基本的な多項式構造の役割は何か？

主な発見

• ラプラシアン $φ$-理論正則化は特定の双対変換の下で自己双対であるが、双極子 $φ$-理論はそうではない。これは、同じ連続体極限を持つにもかかわらず、異なるグローバル構造を示している。
• 2つの格子理論は異なるグローバル対称性を示す：ラプラシアン理論には双極子対称性があり、双極子理論にはスカラー電荷対称性がある。その結果、欠陥の移動性特性も異なる。
• 両理論の基底状態デゲネラシーは無限大であるが、その構造は異なる：ラプラシアン理論では巻き数によってラベル付けされたデゲネラシーがあり、双極子理論では保存される双極子モーメントに関連したデゲネラシーがある。
• 2+1次元U(1)ラプラシアンゲージ理論において、有限個の電荷を有する粒子集合は、それらが自明なスーパosectorにない限り、剛体的にずらせない。これはローレン卜多項式のGCDが非ゼロであることから示される。
• 欠陥の移動性は、$X^{x_0}Y^{y_0} - 1$ と電荷多項式 $p(X,Y)$ が非自明な因子を共有するかどうかに依存する。$p(X,Y)$ は単項式を除いて既約であり、$X^{x_0}Y^{y_0} - 1$ も $γ = γ(x_0,y_0)$ の下で既約であるため、非自明な剛体ずれは許されない。
• Lifshitz理論の欠陥演算子をテンソルゲージ理論のそれらにマッピングすることで、フラクトン／ラインオン-弾性理論双対性の正確な格子実装が達成され、格子正則化のもとでも双対性が保存されている。