[論文レビュー] 2-Coverings of classical groups

Daniela Bubboloni, Maria Silvia Lucido+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は古典的群の2重被覆を調査し、$ n \geq 5 $ のとき、$ SU_n(q) $（$ n=6 $ を除く）、$ Sp_{2n}(q) $（$ q $ が奇数のとき）、および正規直交群 $ \Omega_{2n+1}(q) $、$ \Omega_{2n}^{\pm}(q) $ は2重被覆不可能であることを証明する。$ q $ が偶数のときの $ Sp_{2n}(q) $ の唯一の2重被覆は $ O^{-}_{2n}(q) $ と $ O^{+}_{2n}(q) $ から成り、これは長年の未解決問題である被覆構造に関する問いに答えを提示する。

ABSTRACT

In this paper we show that if $n\geq 5$ and $G$ is any of the groups $SU_n(q)$ with $n eq 6,$ $Sp_{2n}(q)$ with $q$ odd, $Ω_{2n+1}(q),$ $Ω_{2n}^{\pm}(q),$ then $G$ and the simple group $\barG=G/Z(G)$ are not 2-coverable. Moreover the only 2-covering of $Sp_{2n}(q),$ with $q$ even, has components $ O^-_{2n}(q)$ and $O^{+}_{2n}(q) .$

研究の動機と目的

• 2つの適切な極大部分群の共轭の和集合が群全体を被覆する、すなわち2重被覆を許容する古典的群を特定すること。
• 次元 $ \geq 5 $ のユニタリ群、シミプレクティック群、直交群の2重被覆可能性に関する問題を解決すること。
• $ q $ が偶数のときの $ Sp_{2n}(q) $ の一意的な2重被覆を特定し、それが $ O^{-}_{2n}(q) $ と $ O^{+}_{2n}(q) $ から成ることを確認すること。
• 線型群および射影線型群の2重被覆に関する先行結果を、他の古典的群へと拡張すること。
• 最大部分群のアシュバッハャー分類およびシングャー周期、原始的素数因子の性質を用いて、群の被覆を分析すること。

提案手法

• 古典的群における可能な2重被覆を分析するため、最大部分群のアシュバッハャー分類を適用する。
• 自然な加群上に非可約作用をもつ最大の位数の要素であるシングャー周期を用い、その共轭が群を被覆できるかを検証する。
• $ q^t - 1 $ および $ q^t + 1 $ の原始的素数因子を用いて、要素の位数とその部分群内での分布を分析する。
• 2重被覆が存在すると仮定した場合に矛盾を導くために、極大部分群における素数位の要素の中心化群を分析する。
• 有限単純群およびその自己同型群の構造的結果を用いて、2重被覆における可能な成分を除外する。
• 数論的補題 $ (q^a \pm 1, q^b \pm 1) $ を用いて、要素および中心化群の位数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ \geq 5 $ の古典的群 $ G $ に対して、2重被覆（2つの適切な極大部分群の共轭の和集合が $ G $ 全体を被覆するもの）が存在するのはどのような場合か？
• RQ2 $ q $ が偶数のときの $ Sp_{2n}(q) $ の唯一の2重被覆の構造は何か？ なぜそれが一意的なのか？
• RQ3 $ n \geq 5 $ で $ n \neq 6 $ のとき、なぜ $ SU_n(q) $、$ \Omega_{2n}^{\pm}(q) $、$ Sp_{2n}(q) $（$ q $ が奇数）は2重被覆不可能なのか？
• RQ4 シングャー周期および原始的素数因子の性質は、古典的群における2重被覆の存在をどのように制限するか？
• RQ5 極大部分群における素数位の要素の中心化群の位数を用いて、2重被覆が除外できるか？

主な発見

• $ n \geq 5 $ のとき、$ n \neq 6 $ の $ SU_n(q) $ およびその単純商 $ \overline{G} = G/Z(G) $ は2重被覆不可能である。
• $ q $ が奇数のとき、シミプレクティック群 $ Sp_{2n}(q) $ およびその単純商も2重被覆不可能である。
• $ n \geq 5 $ のとき、直交群 $ \Omega_{2n+1}(q) $、$ \Omega_{2n}^{+}(q) $、$ \Omega_{2n}^{-}(q) $ は2重被覆不可能であり、それらの単純商に対しても同様である。
• $ q $ が偶数のとき、$ Sp_{2n}(q) $ はちょうど一つの2重被覆を許容し、その成分は $ O^{-}_{2n}(q) $ と $ O^{+}_{2n}(q) $ に同型である。これはDyeの結果を確認する。
• $ \Omega_{4}^{-}(q) \bot \Omega_{2(n-2)}^{+}(q) $ に属する位数 $ \frac{(q^{n-2}-1)(q^2+1)}{(q^{n-2}-1,q^2+1)(2,q-1)} $ の要素で、非可約作用型 $ 4 \oplus (n-2) \oplus (n-2) $ を持つものは固有値を持たず、2重被覆の候補成分に含まれない。
• 特に散乱群およびリー型群を含む場合の極大部分群における中心化群の分析は、2重被覆が存在すると仮定した場合に、要素と中心化群の位数が一致しないため矛盾を引き起こす。