[論文レビュー] 2-Local derivations and automorphisms on $B(H)$

Sh. A. Ayupov, Karimbergen Kudaybergenov|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ヒルベルト空間 $ H $ 上の有界線形作用素代数 $ B(H) $ における任意の2局所微分が実際に微分であることを証明しており、同様に任意の2局所自己同型が実際に自己同型であることを示している。著者はトレースの性質、有限ランク作用素の構造、空間的微分理論を用いて、線形性を事前に仮定しない2局所写像が、$ B(H) $ 上で常に全般的な線形微分または自己同型であることを示している。

ABSTRACT

The paper is devoted to 2-local derivations and 2-local automorphisms on the algebra $B(H)$ of all bounded linear operators on a Hilbert space $H.$ We prove that every 2-local derivation on $B(H)$ is a derivation. A similar result is obtained for automorphisms.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間 $ H $ 上の有界作用素代数 $ B(H) $ における2局所微分および自己同型が、必ずしも全般的な微分または自己同型であるかどうかを特定すること。
• 従来の可分ヒルベルト空間に関する結果を、一般の（可分でない可能性のある）ヒルベルト空間へと一般化すること。
• 2局所写像が事前に線形性を仮定していないにもかかわらず、$ B(H) $ 上で線形であり、ライブニッツ則を満たすことを確立すること。
• 2局所写像を有限ランク作用素のイデアルに制限したとき、それが $ B(H) $ 全体の写像を決定することを示すこと。トレースおよび空間的微分の技法を用いる。

提案手法

• $ B(H) $ 上の標準的トレース $ \operatorname{tr} $ を用いて、有限ランク作用素 $ \mathcal{F}(H) $ 上での2局所写像の振る舞いを分析し、その忠実性を活用する。
• 2局所微分が $ \mathcal{F}(H) $ 上で消えるならば、トレースの恒等式および交換子の構造を用いて、それが $ B(H) $ 全体で消えることを証明する。
• $ B(H) $ 上の2局所微分の $ \mathcal{F}(H) $ への制限がジュールダン微分であることを示し、半素代数上のジュールダン微分が微分であるという結果を適用する。
• 2局所微分の $ \mathcal{F}(H) $ への制限が空間的（$ B(H) $ の元による交換子によって実装される）であることを、[5, 定理3.3] の結果を用いて確立する。
• 新しい写像 $ \Delta_0 = \Delta - D_a $ を定義し、ここで $ D_a $ は $ a \in B(H) $ によって誘導される空間的微分である。$ \mathcal{F}(H) $ 上での消滅を用いて、$ \Delta_0 \equiv 0 $ を $ B(H) $ 全体で示す。
• 2局所自己同型に関しては、$ \mathcal{F}(H) $ への制限が自己同型であることに着目し、可逆元 $ a $ による共役を用いてこれを全代数へ持ち上げ、すべての $ x \in B(H) $ に対して $ \Theta(x) = axa^{-1} $ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のヒルベルト空間 $ H $ に対して、$ B(H) $ 上の2局所微分は、必ずしも微分であるか？
• RQ2 $ B(H) $ 上の2局所自己同型が、連続性や可分性を仮定しないまま、自己同型であることを示せるか？
• RQ3 2局所写像が有限ランク作用素のイデアル $ \mathcal{F}(H) $ 上でどのように振る舞うかが、$ B(H) $ 全体での振る舞いを決定するか？
• RQ4 有限ランク作用素上のトレースを用いて、2局所写像が線形であり、ライブニッツ則を満たすことを証明できるか？
• RQ5 すべての2局所自己同型は、$ B(H) $ 内の固定された可逆作用素による共役によって実装されるか？

主な発見

• 2局所微分は、事前に線形性を仮定しなくても、$ B(H) $ 上で実際に微分である。
• 2局所自己同型は、$ B(H) $ 上で実際に自己同型であり、固定された可逆作用素による共役によって実装される。
• 任意の2局所微分の有限ランク作用素のイデアル $ \mathcal{F}(H) $ への制限は微分であり、したがって空間的である。
• 2局所微分が $ \mathcal{F}(H) $ 上で消えるならば、トレースの忠実性により、$ B(H) $ 全体で恒等的に消える。
• 2局所微分の線形性は、2局所条件から導かれる加法性および斉次性によって確立される。
• 主な技術的ステップは、$ \Delta(x) = ax - xa $ がすべての $ x \in B(H) $ に対して成り立つことの証明である。ここで $ a \in B(H) $ は $ \mathcal{F}(H) $ 上での空間的微分を実装する要素である。