[논문 리뷰] 3+1 decomposition in the new action for the Einstein Theory of Gravitation

Людвиг Дмитриевич Фаддеев|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 11.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 7인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 아인슈타인 중력 이론을 위한 파드데프의 새로운 작용을 3+1 공간-시간 분해를 통해 재구성하며, 그 결과 도출된 해밀토니안 형식이 디라크와 아르노비츠-데세르-미스너(ADM)의 고전적 해밀토니안 체계를 정확히 재현함을 보여준다. $ f_{\mu}^A $라는 40개의 동역학 변수를 도입하여, $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^A f_{\nu}^A $ 및 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta = f^{\beta A} \partial_\mu f_\alpha^A $로 메트릭과 접속을 정의함으로써 작용이 해밀토니안 운동량 $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $, 쌍대 운동량 $ \Pi_{ik} $ 및 제약 조건으로 분해되며, 표준 ADM 작용과 라그랑주 승수 $ \lambda^0, \lambda^k $를 통해 일치함을 확인한다. 이는 고전적 힐베르트-아인슈타인 작용과의 등가성을 확인하며, 향후 일반화의 가능성을 열어둔다.

ABSTRACT

The action of recently proposed formulation of Einstein Theory of Gravitation is written according to 3+1 decomposition of the space-time variables. The result coincides with known formulation of Dirac and Arnowitt-Deser-Misner.

연구 동기 및 목표

• 최근 제안된 일반 상대성 이론을 위한 파드데프의 작용에 대해 새로운 동역학 변수를 사용하여 3+1 분해를 수립하는 것.
• 그 결과 도출된 해밀토니안 체계가 디라크와 ADM의 고전적 해밀토니안 체계와 정확히 일치함을 보여주는 것.
• 새로운 작용이 40개의 변수로 구성되어 있지만, 제약 조건과 게이지 고정을 통해 표준 ADM 체계로 축소됨을 보여주는 것.
• 다른 변수 체계를 탐색함으로써 아인슈타인 이론의 향후 일반화를 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 메트릭 $ g_{\mu\nu} = f_{\mu}^A f_{\nu}^A $ 및 접속 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta = f^{\beta A} \partial_\mu f_\alpha^A $를 정의하기 위해 $ A=1,\dots,10 $, $ \mu=0,1,2,3 $인 40개의 동역학 변수 $ f_{\mu}^A(x) $를 도입한다.
• 작용을 $ A = \int \sqrt{g} S \, d^4x $ 형태로 표현하며, 여기서 $ S $는 접속 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta $로부터 유도된 스칼라 곡률이고, $ \Pi^{AB} $는 게이지 불변성을 보장하는 수직 프로젝터이다.
• 시간 $ x^0 = t $ 와 공간 좌표 $ x^k $를 분리하여 3+1 분해를 수행하며, $ \Sigma $를 시간 미분 항으로 식별하고, $ \mathcal{H} $를 공간 곡률 기여항으로 식별한다.
• 해밀토니안 변수를 식별한다: $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $, $ \Pi_{ik} = \frac{1}{\sqrt{\gamma g^{00}}} \Omega_{ik}^0 $이며, 라그랑주 승수 $ \lambda^k = \frac{g^{0k}}{g^{00}} $, $ \lambda^0 = \frac{1}{\sqrt{g} g^{00}} $를 정의한다.
• 제약 조건 $ f_k^A f^{0A} = 0 $, $ f^{0A} f^{0A} = g^{00} $를 사용하여 40변수 체계를 36개의 물리적 자유도로 축소한다.
• 전체 작용이 표준 ADM 형태로 축소됨을 보여준다: $ A = \int d^3x \int dt \left( q^{ik} \partial_t \Pi_{ik} + \lambda^0 \mathcal{H}_0 + \lambda^k \mathcal{H}_k \right) $, 여기서 $ \mathcal{H}_0 $ 및 $ \mathcal{H}_k $는 해밀토니안 제약과 운동량 제약이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파드데프의 새로운 일반 상대성 이론 작용이 40개의 변수 $ f_{\mu}^A $로 구성되어 있지만, 3+1 분해를 거쳐 디라크와 ADM의 고전적 해밀토니안 체계를 정확히 재현하는가?
• RQ2 동역학 변수 $ f_{\mu}^A $, 메트릭 $ g_{\mu\nu} $ 및 접속 $ \Omega_{\alpha\mu}^\beta $가 3+1 분해 하에서 어떻게 변환되는가?
• RQ3 작용가 3+1 분해를 통해 쌍대 변수 $ q^{ik} $, $ \Pi_{ik} $ 및 라그랑주 승수 $ \lambda^0 $, $ \lambda^k $를 포함하는 해밀토니안 형태로 재구성될 수 있는가? 이 형태가 ADM 체계와 정확히 일치하는가?
• RQ4 수직 프로젝터 $ \Pi^{AB} $는 게이지 불변성을 보장하고 3+1 분해를 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 최종 해밀토니안 체계는 고전적 힐베르트-아인슈타인 작용과 등가함을 확인하는가? 동시에 향후 일반화의 잠재력을 유지하는가?

주요 결과

• 파드데프의 작용에 대한 3+1 분해는 ADM 체계와 정확히 일치하는 해밀토니안 형태를 도출하며, 작용이 $ A = \int d^3x \int dt \left( q^{ik} \partial_t \Pi_{ik} + \lambda^0 \mathcal{H}_0 + \lambda^k \mathcal{H}_k \right) $로 표현됨을 확인하여 고전적 해밀토니안 중력 이론과의 일致성을 입증한다.
• 쌍대 운동량 $ \Pi_{ik} $는 $ \Pi_{ik} = \frac{1}{\sqrt{\gamma g^{00}}} \Omega_{ik}^0 $로 정의되며, 공액 변수 $ q^{ik} = \gamma \gamma^{ik} $는 슈윙거가 사용한 정규화와 일치하며, 이후 파드데프 자신의 작업에서도 이와 동일한 방식이 채택되었다.
• 운동량 제약 $ \mathcal{H}_k $는 $ \mathcal{H}_k = 2\left[ \nabla_k(q^{ml}\Pi_{ml}) - \nabla_l(q^{ml}\Pi_{mk}) \right] $로 주어지고, 해밀토니안 제약 $ \mathcal{H}_0 = \gamma S^{(3)} - q^{km}q^{ln}(\Pi_{km}\Pi_{ln} - \Pi_{lm}\Pi_{kn}) $이며, 여기서 $ S^{(3)} $는 3차원 스칼라 곡률이다.
• 라그랑주 승수 $ \lambda^k = \frac{g^{0k}}{g^{00}} $는 운동량 제약 $ \mathcal{H}_k $에 곱해지고, $ \lambda^0 = \frac{1}{\sqrt{g} g^{00}} $는 해밀토니안 제약 $ \mathcal{H}_0 $에 곱해져 공간 미분형식 및 시간 재파arameterization에 대한 게이지 불변성을 보장한다.
• 분해 과정을 통해 파드데프의 새로운 작용이 고전적 힐베르트-아인슈타인 작용과 정확히 등가임을 확인하였으며, 그 결과 해밀토니안 체계가 표준 ADM 체계와 완전히 일치함을 입증하였다.
• $ f_{\mu}^A $ 변수의 사용은 40개의 성분을 도입하며, 이는 4개의 제약 조건을 통해 36개의 물리적 자유도로 축소된다. 이 체계는 변환 법칙 $ \delta f_{\mu}^A = -\partial_\mu \epsilon^\nu f_\nu^A - \epsilon^\nu \partial_\nu f_\mu^A $를 통해 일반 좌표 변환에 대한 완전한 공변성을 유지한다.