[論文レビュー] 3+1d Boundaries with Gravitational Anomaly of 4+1d Invertible Topological Order for Branch-Independent Bosonic Systems

Zheyan Wan, Juven Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単体的分岐構造に対して不変な経路積分を持つ時空格子上の分岐独立ボソン系（BIB）を導入し、Stiefel-Whitney類 $ω_2ω_3$ で特徴づけられる 4+1次元可逆的トポロジカル秩序の一貫した記述を可能にする。BIB系では $ω_2ω_3$ トポロジカル秩序が非自明であるが、一般格子ボソン系（GLB）では自明になるため、GLB系における可逆的トポロジカル秩序は向き付きコボルディズムによって分類されない。本研究では、重力異常を有する 3+1次元ギャップあり・ギャップなし境界を構成し、フェルミオン的電荷とフラックスを有する $Χ_2$ ゲージ理論を含む。また、スピン構造およびスピン$^c$ 構造が $ω_2ω_3$ 異常を自明化する一方、より高次の構造（例：スピン$×_{\mathbb{Z}_2}$スピン）は混合ゲージ-重力異常を誘導し、グランドユニフィケーション理論に関連する。

ABSTRACT

We study bosonic systems on a spacetime lattice defined by path integrals of commuting fields. We introduce branch-independent bosonic (BIB) systems, whose path integral is independent of the branch structure of the spacetime simplicial complex, even for a spacetime with boundaries. In contrast, a generic lattice bosonic (GLB) system's path integral may depend on the branch structure. We find the invertible topological order characterized by the Stiefel-Whitney cocycle (e.g., 4+1d w$_2$w$_3$) to be nontrivial for BIB systems, but this topological order and a trivial gapped tensor product state belong to the same phase for GLB systems. The invertible topological orders in GLB systems are not classified by the oriented cobordism. The branch dependence on a lattice may be related to the orthonormal frame of smooth manifolds and the framing anomaly of continuum field theories. The branch structure on a discretized lattice may be related to a frame structure on a smooth manifold that trivializes any Stiefel-Whitney classes. We construct BIB systems to realize the w$_2$w$_3$ topological order, and its 3+1d gapped or gapless boundaries. A 3+1d $\mathbb{Z}_2$ gauge theory with (1) fermionic $\mathbb{Z}_2$ gauge charge particle trivializes w$_2$ and (2) fermionic $\mathbb{Z}_2$ gauge flux line trivializes w$_3$. In particular, if the flux loop's worldsheet is unorientable, then an orientation-reversal 1d worldline corresponds to a fermion worldline carrying no $\mathbb{Z}_2$ gauge charge. Spin and Spin$^c$ structures trivialize the w$_2$w$_3$ global pure gravitational anomaly to zero (which helps to construct 3+1d $\mathbb{Z}_2$ and all-fermion U(1) gauge theories), but the Spin$^h$ and Spin$ imes_{\mathbb{Z}_2}$Spin$(n \geq 3)$ structures modify the w$_2$w$_3$ into a global mixed gauge-gravitational anomaly, which helps to constrain Grand Unifications (e.g., $n=10,18$) or construct new models.

研究の動機と目的

• 時空格子上の分岐独立ボソン（BIB）系を定義・構成し、経路積分が単体的複体の分岐構造に依存しないことを保証する。
• BIB系の文脈において、4+1次元可逆的トポロジカル秩序における重力異常、特に $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ クラスの役割を調査する。
• フェルミオン的任意onsや非自明なスピン構造を有する 3+1次元ギャップあり・ギャップなし境界を分類・実現する。
• BIB系と一般格子ボソン系（GLB）のコボルディズム分類における違いを明確にし、GLB系が向き付きコボルディズムによって可逆的トポロジカル秩序を分類しないことを示す。
• スピン構造（スピン、スピン$^c$、スピン$×_{\mathbb{Z}_2}$スピン）が $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 異常に与える影響を調査し、異常キャンセレーションを可能にするか、グランドユニフィケーションモデルに適した混合ゲージ-重力異常を誘導する。

提案手法

• 虚時間における時空格子上の可換場の経路積分を通じて、分岐独立ボソン（BIB）系の概念を導入し、分岐構造の選択に依存しない不変性を保証する。
• 4+1次元可逆的トポロジカル秩序を特徴づけるために、Stiefel-Whitney類 $\mathrm{w}_2$ と $\mathrm{w}_3$ を用い、$\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ クラスを主要なトポロジカル不変量とする。
• フェルミオン的 $\mathbb{Z}_2$ 電荷粒子（$\mathrm{w}_2$ を自明化）と「フェルミオン的」$\mathbb{Z}_2$ フラックスループ（$\mathrm{w}_3$ を自明化）を持つ 3+1次元ギャップあり $\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論境界を構成し、フラックスループの世界面が非可縮であることは、$\mathbb{Z}_2$ 電荷を持たないフェルミオン的ワールドラインに対応する。
• 境界上での経路積分を定義するために、Wess-Zumino-Wittenに類似した項 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ を用い、$A^{\mathbb{Z}_2^f}$ が境界上のスピン構造を符号化する。
• ゲージ変換 $\mathrm{w}_2 \to \mathrm{w}_2 + \mathrm{d}v_1^{\mathbb{Z}_2}$、$A^{\mathbb{Z}_2^f} \to A^{\mathbb{Z}_2^f} + v_1^{\mathbb{Z}_2}$ の下で経路積分が分岐に依存しないことを示し、非スピン多様体上でも一貫性を保証する。
• スピン構造およびスピン$^c$ 構造が $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 異常を自明化する一方、スピン$×_{\mathbb{Z}_2}$スピン構造は非摂動的混合ゲージ-重力異常を誘導し、グランドユニフィケーションモデルに制約を加える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空単体的複体の分岐構造が格子ボソン系の経路積分に与える影響は何か？ また、分岐独立ボソン（BIB）系と一般格子ボソン（GLB）系の主な違いは何か？
• RQ2 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ トポロジカル秩序が BIB 系では非自明であるが GLB 系では自明であるのはなぜか？ これは、向き付きコボルディズムによる可逆的トポロジカル秩序の分類にどのような含意を持つのか？
• RQ3 3+1次元ギャップあり $\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論境界が 4+1次元 $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ トポロジカル秩序からの重力異常をどのように実現できるか？ フェルミオン的任意onsおよびスピン構造は果たす役割は何か？
• RQ4 スピン構造およびスピン$^c$ 構造が $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 異常をどのように自明化するか？ また、スピン$×_{\mathbb{Z}_2}$スピンのようなより高次の構造は、グランドユニフィケーション理論に関連する混合異常をどのように変化させるか？
• RQ5 Wess-Zumino-Wittenに類似した項 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ は、分岐独立性と一貫性のある境界理論を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ トポロジカル秩序は分岐独立ボソン（BIB）系では非自明であるが、一般格子ボソン（GLB）系では自明になるため、GLB系における可逆的トポロジカル秩序は向き付きコボルディズムによって分類されないことが示唆される。
• フェルミオン的 $\mathbb{Z}_2$ ゲージ電荷粒子（$\mathrm{w}_2$ を自明化）と「フェルミオン的」$\mathbb{Z}_2$ ゲージフラックスループ（$\mathrm{w}_3$ を自明化）を持つ 3+1次元ギャップあり $\mathbb{Z}_2$ ゲージ理論境界を構成した。フラックスループの世界面が非可縮であることは、$\mathbb{Z}_2$ 電荷を持たないフェルミオン的ワールドラインに対応する。
• 境界の経路積分は $ Z = \sum_{\mathrm{d}l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} = 0} \mathrm{e}^{i\pi \left( \int_{B^d} l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} A^{\mathbb{Z}_2^f} + \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} \right)} $ で与えられ、$A^{\mathbb{Z}_2^f}$ がスピン構造を符号化し、分岐独立性を保証する。
• $\mathrm{w}_2\mathrm{w}_3$ 異常はスピンおよびスピン$^c$ 構造によって自明化されるが、スピン$×_{\mathbb{Z}_2}$スピン構造によって非摂動的グローバル混合ゲージ-重力異常へと変化し、$n=10$ または $n=18$ のグランドユニフィケーションモデルを制約する。
• Wess-Zumino-Wittenに類似した項 $\mathrm{e}^{i\pi \int_{M^{d+1}} \mathbb{Sq}^2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1} + \mathrm{w}_2 l^{\mathbb{Z}_2}_{d-1}}$ は、ゲージ変換 $\mathrm{w}_2 \to \mathrm{w}_2 + \mathrm{d}v_1^{\mathbb{Z}_2}$、$A^{\mathbb{Z}_2^f} \to A^{\mathbb{Z}_2^f} + v_1^{\mathbb{Z}_2}$ の下で分岐に依存せず、非スピン多様体上でも一貫性を保証する。
• 半整数スピンおよびフェルミ統計の出現は、$A^{\mathbb{Z}_2^f}$ を通じたワールドラインと $\mathrm{w}_2$ クラスの結合に起因し、境界上で $\mathrm{w}_2 = \mathrm{d}A^{\mathbb{Z}_2^f}$ が成り立つことで、$\mathbb{Z}_2$ フラックスループがフェルミオン的ワールドラインに結合することが保証される。