[論文レビュー] 4-Dimensional Kaluza-Klein Approach to General Relativity in the (2,2)-Splitting of Spacetimes

J. H. Yoon|ArXiv.org|Nov 21, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時空を(1+1)次元の基底多様体と2次元の繊維に分解することで、一般相対性理論に対する4次元のカルラ・クライン的アプローチを提案する。重力を(1+1)次元のゲージ理論として解釈する。ポリヤコフゲージにおいて、作用はゲージ理論型のヤン・ミルズ理論と非線形シグマ模型、スカラー場のカップリングに簡略化され、微分同相変換不変性からガウス則の制約が生じ、形式的構造は光的超曲面幾何学と結びつく。

ABSTRACT

We propose a Kaluza-Klein approach to general relativity of 4-dimensional spacetimes. This approach is based on the (2,2)-splitting of a generic 4-dimensional spacetime, which is viewed as a local product of a (1+1)-dimensional base manifold and a 2-dimensional fibre space. In this Kaluza-Klein formalism we find that general relativity of 4-dimensional spacetimes can be interpreted in a natural way as a (1+1)-dimensional gauge theory. In a gauge where the (1+1)-dimensional metric can be written as the Polyakov metric, the action is describable as a (1+1)-dimensional Yang-Mills type gauge theory action coupled to a (1+1)-dimensional non-linear sigma field and a scalar field, subject to the constraint equations associated with the diffeomorphism invariance of the (1+1)-dimensional base manifold. Diffeomorphisms along the fibre directions show up as the Yang-Mills type gauge symmetries, giving rise to the Gauss-law constraints. We also present the Einstein's equations in the Polyakov gauge and discuss them from the (1+1)-dimensional gauge theory point of view. Finally we show that this Kaluza-Klein formalism is closely related to the null hypersurface formalism of general relativity.

研究の動機と目的

• 時空の(2,2)-分割に基づくカルラ・クライン枠組みを用いて、4次元一般相対性理論を再定式化すること。
• 重力を(1+1)次元ゲージ理論として解釈し、ヤン・ミルズ理論および非線形シグマ模型の構造を有すること。
• (2,2)-分割形式と一般相対性理論における光的超曲面アプローチとの間の関係を確立すること。
• ポリヤコフゲージにおいてアインシュタイン方程式を導出し、(1+1)次元ゲージ理論の観点から解析すること。

提案手法

• 時空の4次元を(2,2)-分割により、(1+1)次元の基底多様体と2次元の繊維空間に分解する。
• カルラ・クライン還元を適用し、4次元計量を(1+1)次元計量、ゲージ場、スカラー場の形で表現する。
• (1+1)次元計量のポリヤコフゲージを選択することで、作用を簡略化し、ゲージ構造を明確にする。
• 繊維方向への微分同相変換をヤン・ミルズゲージ対称性として特定し、ガウス則の制約を導出する。
• 有効作用を(1+1)次元ヤン・ミルズ理論と非線形シグマ模型およびスカラー場のカップリングとして得る。
• ポリヤコフゲージにおける得られたアインシュタイン方程式を解析し、ゲージ理論の制約と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元時空における一般相対性理論は、(2,2)-分割を用いて(1+1)次元ゲージ理論としてどのように再定式化できるか？
• RQ2 ポリヤコフゲージにおける有効作用の構造は何か？また、ヤン・ミルズ理論および非線形シグマ模型理論とどのように関係するか？
• RQ3 繊維方向への微分同相変換不変性は、どのようにゲージ対称性として現れ、ガウス則の制約を生じるか？
• RQ4 (2,2)-分割形式と一般相対性理論における光的超曲面形式との間の幾何学的および力学的関係は何か？
• RQ5 アインシュタイン方程式は(2,2)-分割およびポリヤコフゲージ選択のもとでどのように変換され、どのような制約が生じるか？

主な発見

• 4次元アインシュタイン＝ヒルベルト作用は、ポリヤコフゲージにおいて(1+1)次元ヤン・ミルズ型ゲージ理論と非線形シグマ模型およびスカラー場のカップリングに再定式化される。
• 2次元繊維方向への微分同相変換はヤン・ミルズゲージ対称性を生成し、その結果としてガウス則の制約が生じ、運動論的制約が与えられる。
• (2,2)-分割形式は自然に重力のゲージ理論的解釈を導き、計量および接続場がゲージポテンシャルから生じることを示す。
• ポリヤコフゲージにおけるアインシュタイン方程式は、(1+1)次元ゲージ理論的作用から導かれる運動方程式と等価であることが示された。
• この形式は光的超曲面アプローチと密接に関連しており、重力とゲージ理論のより深い幾何的統合を示唆する。
• 微分同相変換不変性から生じる(1+1)基底多様体上での制約構造が明示的に導出され、ゲージ理論のガウス則の制約と整合的であることが示された。