[논문 리뷰] $4$-uniform BCT permutations from generalized butterfly structure

Nian Li, Zhao Hu외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 02.

Cryptographic Implementations and Security참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{F}_{2^{4k+2}}$ 위에서 4-균일 보머런드 유니폼리티(BCT)를 갖는 여섯 번째 무한한 순열 가족을 일반화된 버터플라이 구조를 통해 제안한다. 유한체 위의 추적 함수와 불변성 분석을 통해 저자들은 이러한 순열이 미분 공격과 보머런드 스타일 공격에 대해 최적의 저항성을 확보함을 증명하며, 짝수 차원 벡터 공간 내에서 알려진 구성들을 연장한다.

ABSTRACT

As a generalization of Dillon's APN permutation, butterfly structure and generalizations have been of great interest since they generate permutations with the best known differential and nonlinear properties over the field of size $2^{4k+2}$. Complementary to these results, we show in this paper that butterfly structure, more precisely the closed butterfly also yields permutations with the best boomerang uniformity, a new and important parameter related to boomerang-style attacks. This is the sixth known infinite family of permutations in the literature with the best known boomerang uniformity over such fields.

연구 동기 및 목표

• 짝수 차원, 특히 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 인 경우에 4-균일 보머런드 유니폼리티를 갖는 새로운 순열을 구성하는 것.
• 기존에 알려진 최적의 BCT 성질을 갖는 순열의 가족을 확장하여, 더 높은 짝수 차원에서 이러한 함수를 구성하는 열린 문제를 해결하는 것.
• 일반화된 버터플라이 구조가 가장 잘 알려진 보머런드 유니폼리티를 갖는 순열을 생성함을 보여주며, 기존의 미분 유니폼리티 결과를 보완하는 것.

제안 방법

• 두 개의 $\mathbb{F}_{2^m} \times \mathbb{F}_{2^m}$ 위에서 정의된 닫힌 버터플라이 구조를 사용하며, 각 $y$에 대해 순열을 유도하는 이변수 다항식 $R(x,y)$로 매개변수화된다.
• 유한체 위에서의 추적 함수와 대수적 항등식을 활용하여 보머런드 연결성 표(BCT) 항목을 분석한다.
• 표현식 $z$, $\overline{z}$, $\theta$의 불변성 성질을 적용하여 $\operatorname{Tr}_1^n(\Delta_z)$ 가 $Z_a = \{a, \eta_a, a + \eta_a\}$ 전역에서 통제된 방식으로 0이 됨을 보여준다.
• BCT 방정식의 해의 수인 $S_F(a,b)$ 의 추적 기반 특성화를 사용하여 최댓값이 4 이하임을 유 bounds 한다.
• 대칭적 항등식과 $\phi(z)$, $H(z)$, $E(z)$ 를 포함한 치환을 활용하여 BCT 항목을 대수적으로 단순화하고 평가한다.
• 해의 수 $S_F(a,b)$ 가 항상 4 이하 또는 0임을 보여줌으로써 $\beta(F) \leq 4$ 를 증명한다. 이는 $a,b \neq 0$ 에 대해 추적 행동에 따라 달라진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 버터플라이 구조는 짝수 차원 $n \equiv 2 \pmod{4}$ 에서 4-균일 BCT를 갖는 순열을 생성할 수 있는가?
• RQ2 닫힌 버터플라이 구성은 기존의 가족들과 비교하거나 향상시키는 최적의 보머런드 유니폼리티를 갖는 함수를 제공하는가?
• RQ3 이러한 구성에서 BCT 항목의 행동을 지배하는 대수적 불변성과 추적 항등식은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 순열 가족은 $\beta(F) \leq 4$ 를 확보하여 4-균일 보머런드 유니폼리티를 확인한다.
• 이 구성은 $\mathbb{F}_{2^{4k+2}}$ 위에서 4-균일 BCT를 갖는 순열의 여섯 번째 알려진 무한한 가족을 제공하며, 문헌의 빈도를 메운다.
• 증명은 $\operatorname{Tr}_1^m(\Delta_z) = 0$ 이 최대 한 개의 $z \in Z_a$ 에서 또는 모든 $z \in Z_a$ 에서 성립함을 보여주며, 이는 해의 수가 유한함을 이끌어낸다.
• 만약 $\operatorname{Tr}_1^m(\Delta_z) = 0$ 가 모든 $z \in Z_a$ 에서 성립한다면, BCT 항목 $S_F(a,b) = 0$ 가 되어 유니폼리티가 급격히 증가하지 않는다.
• $E(z)$ 의 불변성과 $Z_a$ 위에서의 추적 항등식은 BCT 방정식의 해 수를 유 bounds 하는 데 핵심적이다.
• 구성의 역함수를 직접 계산하는 것을 피하고 대신 대칭적 추적 항등식을 활용하여 BCT 항목을 효율적으로 평가한다.