[論文レビュー] A 2 rebit gate universal for quantum computing

Terry Rudolph, Lov K. Grover|ArXiv.org|Oct 27, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、複素数の振幅を一切使用せずに普遍的量子計算を達成できることを示している。その鍵は、任意のユニタリ変換を生成できないが、量子計算に対して普遍的な2レビットゲートGを導入したことにある。主な洞察は、補助キュービットを用いて実部と虚部を追跡することで、複素振幅を実重ね合わせに符号化し、F(θ)形式の実ゲートを用いて任意の量子回路を効率的にシミュレートできることにある。ここでGは、πの無理数倍のϕに対するF(ϕ)を実装する。

ABSTRACT

We show, within the circuit model, how any quantum computation can be efficiently performed using states with only real amplitudes (a result known within the Quantum Turing Machine model). This allows us to identify a 2-qubit (in fact 2-rebit) gate which is universal for quantum computing, although it cannot be used to perform arbitrary unitary transformations.

研究の動機と目的

• 複素数の振幅が量子回路に必要でないことを挑戦的に示すこと。
• 任意のユニタリ変換を生成できないが、回路モデル内で普遍的量子計算に使用可能な特定の2レビットゲートGを同定すること。
• 標準の複素振幅回路を、補助キュービットを用いて効率的かつ実用的に等価な実振幅回路に変換する手法を提供すること。
• 制御キュービットと実部／虚部を追跡する補助キュービットに作用するF(θ)形式のゲートが、普遍性を満たす十分条件であることを示すこと。
• 特に、複素ヒルベルト空間の必要性について、実振幅量子計算の物理的・基礎的意味を検討すること。

提案手法

• 複素振幅を持つ任意の量子状態を、実重ね合わせに符号化する。そのために、実部と虚部を表す2準位の補助キュービット|R⟩と|I⟩を導入する。
• ゲートGを|11⟩部分空間における制御回転として定義する：G = diag(1,1,cosϕ, sinϕ)。ここでϕはπの無理数倍であり、これはターゲットキュービット上でF(ϕ)として作用する。
• ϕの無理性を活用し、SU(2)における密度定理を応用することで、Gの繰り返し適用により任意の所望の回転角θを効率的に近似可能である。
• 符号化された形での標準的単一キュービットゲートの実装：Rz(τ)は補助キュービット上でF(τ)を適用し、Ry(τ)は主キュービットに直接F(τ)を適用することで実現。両者とも実振幅を維持する。
• F(π/2)のような2キュービットゲートは、補助キュービットを介さずに符号化された形で実装可能であり、普遍性が保たれる。
• Gの繰り返し適用で実装可能なF(θ)の集合が、実振幅を用いた任意の量子回路をシミュレートするのに十分であることを証明し、普遍性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数の振幅を一切使用せず、普遍的量子計算を達成できるか？
• RQ2 任意のユニタリ変換を生成できないが、普遍的量子計算に使用可能な1つの2レビットゲートが存在するか？
• RQ3 標準の量子回路モデルを、複素数の振幅を使用しない形に再定式化できるか？ その際、計算効率は保たれるか？
• RQ4 補助キュービットを用いて、複素振幅を実重ね合わせに符号化し、量子計算の忠実性を維持する方法は何か？
• RQ5 普遍的量子計算に、複素ヒルベルト空間の定式化は本質的に必要なのか、それとも十分に enough であるのか？

主な発見

• |11⟩部分空間における制御回転として定義される2レビットゲートG（ϕがπの無理数倍のとき）は、量子計算に対して普遍的である。
• 複素振幅を含む任意の量子計算は、位相情報を補助キュービットに符号化することで、効率的に等価な実振幅回路に変換可能である。
• ϕの無理性のおかげで、Gの繰り返し適用により、任意の回転F(θ)を効率的に近似可能であり、普遍的ゲート合成が可能である。
• Rz(τ)やRy(τ)のような単一キュービットゲートは、符号化された実振幅フレームワーク内において、制御キュービットおよび補助キュービットにF(τ)ゲートを適用することで実装可能である。
• F(π/2)のような2キュービットゲートは、補助キュービットとの相互作用なしに符号化された形で直接実装可能であり、普遍性が保たれる。
• 結果として、標準的な複素ヒルベルト空間の定式化が、普遍的量子計算に必須であるとは限らないことが確認された。実振幅回路で十分である。