[論文レビュー] A Bellman approach for regional optimal control problems in $\R^N$

Guy Barles, Ariela Briani+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 内の領域的最適制御問題に対して、$W^{2,\infty}$ 界面を介して不連続な力学系と報酬関数を有する場合のベルマンアプローチを開発する。ハミルトニアンが不連続であるハミルトン・ジャコビ・ベルマン方程式に対して、新規の界面条件を備えた粘性解の枠組みを確立し、最大解および最小解の存在を証明するとともに、有限および無限時間ホライズン問題の両方において、弱化された可制御性仮定の下で一意性および安定性の結果を示す。

ABSTRACT

This article is a continuation of a previous work where we studied infinite horizon control problems for which the dynamic, running cost and control space may be different in two half-spaces of some euclidian space $\R^N$. In this article we extend our results in several directions: $(i)$ to more general domains; $(ii)$ by considering finite horizon control problems; $(iii)$ by weaken the controlability assumptions. We use a Bellman approach and our main results are to identify the right Hamilton-Jacobi-Bellman Equation (and in particular the right conditions to be put on the interfaces separating the regions where the dynamic and running cost are different) and to provide the maximal and minimal solutions, as well as conditions for uniqueness. We also provide stability results for such equations.

研究の動機と目的

• 二つの半空間における無限時間ホライズン制御問題に関する先行研究を、より一般的な領域および有限時間ホライズン問題へと拡張すること。
• 領域的最適制御問題における解の一意性および存在性に要する可制御性仮定を弱める。
• $W^{2,\infty}$ 超曲面を介して不連続な力学系と報酬関数を有する場合の正しいハミルトン・ジャコビ・ベルマン方程式および界面条件を同定すること。
• 領域的設定における最大および最小の粘性解の存在を確立し、それらの一意性の条件を特定すること。
• データの摂動に対するHJB方程式の安定性結果を証明し、古典的安定性特性とは異なる点を明らかにすること。

提案手法

• 問題を $\mathbb{R}^N = \Omega_1 \cup \Omega_2 \cup \mathcal{H}$ の分解上に定式化し、$\mathcal{H}$ を異なる力学系と報酬関数を有する二つの領域を分かつ $W^{2,\infty}$ 界面とする。
• 不連続ハミルトニアンに対する粘性解の定義として、石井の定義を用い、上半連続包および下半連続包を用いて下位解および上位解を定義する。
• 界面条件として、$\mathcal{H} \times (0,T)$ 上で $\min\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \leq 0$ および $\max\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \geq 0$ を課し、不連続性に跨がる一貫性を保証する。
• 局所的領域における比較原理の証明のため、上包絡線および滑らか化を用いた摂動技法を適用し、テスト関数を構成する。
• 厳密な下位解 $\tilde{u}_\alpha^\varepsilon - \eta t$ を用いた比較議論を、切断された円柱 $\tilde{Q}_{\alpha,\varepsilon}$ 内で実行し、内部に最小点が生じるのを防ぐ。
• $\varepsilon \to 0$ および $\alpha \to 0$ の極限に移行することで、比較原理 $\| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\tilde{Q})} \leq \| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\partial_p \tilde{Q})}$ を導出し、初期データが放物的境界上で一致する場合の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 力学系および報酬関数が $\mathbb{R}^N$ 内の $W^{2,\infty}$ 界面を越えて不連続である場合、ハミルトン・ジャコビ・ベルマン方程式の正しい形は何か？
• RQ2 不連続ハミルトニアンを有する領域的制御問題におけるHJB方程式の粘性解の定義および比較原理の保証はどのように行えるか？
• RQ3 界面および力学系にどのような条件を課すと、有限時間ホライズン領域的最適制御問題における粘性解の存在および一意性が保証されるか？
• RQ4 この不連続な設定におけるHJB方程式の安定性特性は、古典的な連続ケースとはどのように異なるか？
• RQ5 領域的最適制御問題における一意性に要する可制御性仮定を弱めることができるか？

主な発見

• 本稿は、HJB方程式の正しい界面条件を同定した：$\mathcal{H} \times (0,T)$ 上で $\min\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \leq 0$ および $\max\{u_t + H_1, u_t + H_2\} \geq 0$ であり、不連続性に跨がる一貫性を保証する。
• 不連続データを伴う領域的設定においても、最大および最小の粘性解が存在することを証明した。
• より弱い可制御性仮定の下で、粘性解の一意性が確立された。これは、従来の強いグローバル可制御性を要する結果を一般化するものである。
• 局所的領域における比較原理が導出され、$\| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\tilde{Q})} \leq \| (\tilde{u} - \tilde{v})_+ \|_{L^\infty(\partial_p \tilde{Q})}$ が成り立つ。これは、初期データが放物的境界上で一致する場合の一意性を示唆する。
• 安定性の結果が得られ、解がデータの摂動に対して連続的に依存することを示し、$\varepsilon \to 0$ のとき $\tilde{m}(\varepsilon) \to 0$ となる収束率が制御可能であることを示した。
• フレームワークは有限時間ホライズン問題およびより一般的な領域へと拡張され、界面 $\mathcal{H}$ の正則性仮定の下で二領域 $\Omega_1, \Omega_2$ への還元が可能となった。