[論文レビュー] A Bialgebraic Approach to Automata and Formal Language Theory

James Worthington|ArXiv.org|Jul 28, 2008

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可換半体上の自動機と形式的言語のための双代数的枠組みを提示し、代数的および余代数的構造を統合して、自動機を代数の表現対象、言語を余代数の双対としてモデル化する。自動機の代数的カテゴリと決定的自動機のカテゴリの間で随伴関係を確立し、任意の半体上での自動機同士の同値性の完全な証明系を構成する。この証明系は $K$-線形自動機準同型写像によって構成される。

ABSTRACT

A bialgebra is a structure which is simultaneously an algebra and a coalgebra, such that the algebraic and coalgebraic parts are "compatible". Bialgebras are normally studied over a field or commutative ring. In this paper, we show how to apply the defining diagrams of algebras, coalgebras, and bialgebras to categories of semimodules and semimodule homomorphisms over a commutative semiring. We then show that formal language theory and the theory of bialgebras have essentially undergone "convergent evolution", with the same constructions appearing in both contexts. For example, formal languages correspond to elements of dual algebras of coalgebras, automata are "pointed representation objects" of algebras, automaton morphisms are instances of linear intertwiners, and a construction from the theory of bialgebras shows how to run two automata in parallel. We also show how to associate an automaton with an arbitrary algebra, which in the classical case yields the automaton whose states are formal languages and whose transitions are given by language differentiation.

研究の動機と目的

• 可換半体上の双代数を用いて、自動機と形式的言語の代数的および余代数的視点を統合すること。
• 自動機を代数の表現対象、形式的言語を余代数の双対としてモデル化すること。
• 代数的自動機のカテゴリと決定的自動機のカテゴリの間で随伴関係を確立すること。
• $K$-線形自動機準同型写像が、任意の半体上での自動機同士の同値性の完全証明系を形成することを示すこと。
• 既存の自動機同値性証明系を、任意の半体へ一般化すること。

提案手法

• 可換半体上の半モジュールにおけるテンソル積の普遍的性質を用いて、代数、余代数、双代数を定義する。
• アルファベット上の有限語の自由半モジュールに、連結を乗法、語の分割を余乗法とする双代数を構成する。
• 自動機を開始状態と観測関数を持つモジュールとして表現し、自動機準同型写像を言語受容を保存する線形インターヴァーリングとして定義する。
• 余代数の双対を用いて形式的言語を表現し、余乗法が双対モジュール上での乗法を誘導することを示す。
• 双代数的構造を介して自動機の並列合成を構成し、同時に計算を可能にする。
• 忘却関手と自由関手を用いて、代数的自動機のカテゴリ ($\mathfrak{A}$) と決定的自動機のカテゴリ ($\mathfrak{D}$) の間で随伴関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半体上の双代数は、自動機理論における代数的および余代数的構造をどのように統合できるか？
• RQ2 自動機は自然に代数の表現対象として、形式的言語は余代数の双対としてモデル化可能か？
• RQ3 代数的自動機と決定的自動機の間の圏論的関係は何か？
• RQ4 $K$-線形自動機準同型写像は、任意の半体上での自動機同士の同値性の完全証明系として機能可能か？
• RQ5 代数的自動機と決定的自動機の間の随伴関係は、証明系の完全性をどのように実現するか？

主な発見

• 代数的自動機のカテゴリと決定的自動機のカテゴリの間に随伴関係が確立され、性質の圏論的移行が可能になった。
• 随伴の余単位は、決定的自動機から生成される自由代数的自動機から元の自動機への準同型写像を提供する。
• $K$-線形自動機準同型写像のみを推論規則として用いることで、$K$-線形自動機同士の同値性の完全証明系が達成された。
• 証明系は、任意の2つの同値な$K$-線形自動機をそれらの決定的対応物を介してつなぐ準同型写像の列を構成することで、同値な$K$-線形自動機に対して完全であることが示された。
• 従来の有限自動機に関する結果を任意の可換半体へ一般化し、準同型写像が$K$上の行列として表現可能であることがわかった。
• 決定的自動機の最小化が、その下位の代数的構造の最小化と同型であることが示され、両カテゴリ間で一貫性が保証された。