[論文レビュー] A blow-up criteria and the existence of 2d gravity water waves with angled crests

Sijue Wu|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 25被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、古典的テイラー符号条件が成立しない角を持つ2次元重力水波に対して、爆発基準と局所的解の存在を確立する。一般化された解の枠組みを導入し、構築されたエネルギー関数 $\mathfrak{E}(t)$ が有限の間、滑らかな解が正則のままであることを証明する。解の存在時間は $\mathfrak{E}(0)$ のみに依存し、滑らかでない初期データ（有限エネルギー）に対しても成り立つ。

ABSTRACT

We consider the two dimensional gravity water wave equation in the regime that includes free surfaces with angled crests. We assume that the fluid is inviscid, incompressible and irrotational, the air density is zero, and we neglect the surface tension. In \cite{kw} it was shown that in this regime, only a degenerate Taylor inequality $-\frac{\partial P}{\partial\bold{n}}\ge 0$ holds, with degeneracy at the singularities; an energy functional $\frak E$ was constructed and an aprori estimate was proved. In this paper we show that a (generalized) solution of the water wave equation with smooth data will remain smooth so long as $\frak E(t)$ remains finite; and for any data satisfying $\frak E(0)

研究の動機と目的

• 角を持つ2次元重力水波に対して、古典的テイラー符号条件が成立しない場合の爆発基準を確立すること。
• 滑らかでない界面（特異点を含む）に対しても、初期データの $\mathfrak{E}(0)$ が有限である限り、一般化された解の局所的存在を証明すること。
• 滑らかでない、自己交差しない界面（有限エネルギーを有する）に対しても、正規性理論を拡張すること。特に、弦-アーク曲線を含む。
• 初期データの滑らか化とその解の収束を用いて、一般化された解を構成すること。

提案手法

• 滑らかでない、自己交差しない界面と角を持つ状況を許容する一般化された解の概念を導入する。
• 水波系における主要な幾何的・力学的量を制御する、特別なエネルギー関数 $\mathfrak{E}(t)$ を定義する。
• $\mathfrak{E}(t)$ が有限の間、解が滑らかで古典的であることを保証する爆発基準を確立する。
• 初期データの滑らか化を用いて近似解を構成し、一般化された解への収束を示す。
• 文献[21]のエネルギー推定を応用し、$\|D_{\alpha'}^2 Z_{tt}\|_{L^2}$、$\|Z_{tt}+i\|_{L^∞}$、$\|\mathfrak{a}_t/\mathfrak{a}\|_{L^∞}$ などの量を $\mathfrak{E}(t)$ の多項式によって制御する。
• 共形パラメータ化と $\mathbb{H}$-作用素枠組みを用いて、交換子恒等式を導出し、非線形項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元重力水波方程式の一般化された解が、時間経過とともに滑らかに保たれる条件は何か？
• RQ2 界面に角があり、テイラー符号条件が崩れる場合でも、初期データの $\mathfrak{E}(0)$ が有限である限り、局所的解を確立できるか？
• RQ3 存在時間は初期エネルギー $\mathfrak{E}(0)$ にどのように依存するか？また、弦-アーク条件のもとで一様に保たれるか？
• RQ4 エネルギー関数 $\mathfrak{E}(t)$ は、自由表面および速度場の正則性と幾何をどのように制御するか？
• RQ5 解理論を、滑らかな初期データを超えて、滑らかでない、自己交差しない界面へと拡張可能か？

主な発見

• エネルギー関数 $\mathfrak{E}(t)$ が有限の間、一意な一般化された解が存在し、滑らかさを保つ。
• $\mathfrak{E}(0) < \infty$ である任意の初期データに対して、一般化された解が時間局所的に存在し、その存在時間は $\mathfrak{E}(0)$ のみに依存する。
• 初期界面が弦-アークである場合、$\mathfrak{E}(0)$ と弦-アーク定数にのみ依存する時間 $T > 0$ が存在し、その間解は古典的であり、界面は弦-アークのままである。
• エネルギー関数 $\mathfrak{E}(t)$ は、$\|D_{\alpha'}^2 Z_{tt}\|_{L^2}$、$\|Z_{tt}+i\|_{L^∞}$、$\|\mathfrak{a}_t/\mathfrak{a}\|_{L^∞}$、$\|D_{\alpha'}(h_t \circ h^{-1})_{\alpha'}\|_{L^2}$ といった主要な量を多項式による有界性で制御する。
• 滑らか化と収束を用いた一般化された解の構成により、近似のもとでも解理論の頑健性が保証される。
• 古典的テイラー符号条件 $-\partial P/\partial n \geq c_0 > 0$ が成立しない角を持つ解に対しても、その代わりに退化した不等式と制御可能なエネルギー関数を導入することで、解の存在が可能となる。