[論文レビュー] A bordism approach to string topology

David Chataur|ArXiv.org|Jun 4, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート多様体と交線論を用いて、ループ積その他の作用を構成する、ボルディズムに基づく幾何的ホモロジー枠組みを、ストリングトポロジーに導入する。この枠組みにより、Chas-Sullivanのストリングトポロジー代数が、新たなギジン準同型を介して回復され、n次元球面空間へ構造が拡張され、Δ₃と3次元球面括弧の導入により、スーリヴァンの弦図を用いた作用の統一がなされる。

ABSTRACT

Using intersection theory in the context of Hilbert manifolds and geometric homology we show how to recover the main operations of string topology built by M. Chas and D. Sullivan. We also study and build an action of the homology of reduced Sullivan's chord diagrams on the singular homology of free loop spaces, extending previous results of R. Cohen and V. Godin and unifying part of the rich algebraic structure of string topology as an algebra over the prop of these reduced diagrams. Some of these operations are extended to spaces of maps from a sphere to a compact manifold.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体から写像するボルディズム類に基づく、自由ループ空間およびn次元球面空間のための幾何的ホモロジー理論の構築。
• ヒルバート多様体における横断的引き戻しを用いて、交線型積（例えばループ積）の定義。
• 特にS³に対して、ストリングトポロジー代数的構造を高次元球面空間へ拡張すること。
• 次数3の作用素Δ₃と3次元球面括弧の定義およびその研究、BV作用素と括弧の一般化。
• ストリングトポロジーの豊かな代数的構造を、削減されたスーリヴァンの弦図のプロップ（prop）上の代数として統一すること。

提案手法

• コンパクトで向き付けられた多様体からn次元球面空間への写像のボルディズム類に基づく幾何的ホモロジーの使用。
• ヒルバート多様体における横断性と引き戻し構成を用いて、交線型積の定義。
• トム空間に依存しない、ヒルバート多様体のための新たなギジン準同型の導入。引き戻しとカップ積を用いる。
• 横断的写像と符号の規約を含む、ストリング引き戻し構成を用いて、球面積の定義。
• S³作用を用いて3次元球面空間上のΔ₃作用素を構成し、クロス積を用いてΔ₃² = 0の証明。
• S³バンドルに関連するギジン完全列を用いて3次元球面括弧を定義し、反交換性を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリングトポロジー作用、例えばループ積は、幾何的ホモロジーとヒルバート多様体技術を用いてどのように再構成可能か？
• RQ2 自由ループ空間からS³空間へと、BV作用素と括弧構造を一般化することは可能か？
• RQ3 削減されたスーリヴァンの弦図のホモロジーは、ストリングトポロジーの代数的構造を統一する役割を果たすか？
• RQ4 トム空間を用いないヒルバート多様体のためのギジン準同型は、どのように構成可能か？
• RQ5 3次元球面空間のホモロジー上での新しい次数3作用素Δ₃と3次元球面括弧の代数的性質は何か？

主な発見

• 球面積は結合的かつ可換であり、交線積とカップ積の結合的・可換性から導かれる。
• 定数球面埋め込みは、多様体のホモロジーからn次元球面空間のホモロジーへの、次数付き可換代数の準同型を誘導する。
• 交線準同型Iは、定数球面との球面積を用いて定義される、次数付き可換かつ結合的な代数の準同型である。
• 作用素Δ₃はΔ₃² = 0を満たし、クロス積の結合性と特定の幾何的類の零性を用いて証明される。
• 3次元球面括弧は反交換的であり、S³バンドルに関連するギジン完全列を用いて定義され、BV括弧を一般化する。
• ストリングトポロジーの全代数的構造は、削減されたスーリヴァンの弦図のプロップ上の代数として統一され、従来の結果が拡張される。