[論文レビュー] A Borsuk-Ulam Type Generalization of the Leray-Schauder Fixed Point Theorem

Anatoliy K. Prykarpatsky|ArXiv.org|Feb 25, 2009

Functional Equations Stability Results参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、無限次元のバナッハ空間におけるBorsuk-Ulam型反対称構成を用いて、Leray-Schauderの不動点定理を一般化する。Banach空間における単位球面上の$\tilde{a}$-コンパクト写像に対して不動点の存在を示すために、閉かつ全射な線形作用素の多価逆写像に対する連続的で奇関数的な選択を構成し、適切に埋め込まれたバナッハ空間枠組みの中でBorsuk-Ulam型の議論により不動点を証明する。

ABSTRACT

A generalization of the classical Leray-Schauder fixed point theorem, based on the in finite- dimensional Borsuk-Ulam type antipode construction, is proposed. Two completely different proofs based on the projection operator approach and on a weak version of the well known Krein-Milman theorem are presented.

研究の動機と目的

• 古典的なLeray-Schauder不動点定理を、Borsuk-Ulam型の位相的原理を用いて無限次元設定に拡張すること。
• $\tilde{a}$-コンパクト写像がバナッハ空間の単位球面上に定義される場合の不動点の存在を確立すること。
• 閉かつ全射な線形作用素$\tilde{a}$の多価逆写像に対する連続的で奇関数的な選択$s: E_2 \to E_1$を構成し、有界ノルム制御を保証すること。
• 位相的デグリーとコンパクト性の議論を用いて、単位球面上の作用素方程式$\tilde{a}x = f(x)$の解の存在を証明すること。
• 2種類の異なる証明——投影作用素に基づくものと弱Krein-Milman定理に基づくもの——を提示することで、結果の理論的基盤を強化すること。

提案手法

• 商空間$\tilde{E}_1 = E_1 / \text{Ker}(\tilde{a})$上に閉かつ全射な線形作用素$\tilde{a}: \tilde{E}_1 \to E_2$を定義し、$\tilde{a}^{-1}$が存在し、ノルム$k(\tilde{a}) < \infty$で有界であることを保証する。
• 任意の$k_s > k(\tilde{a})$に対して、$\tilde{a}(s(y)) = y$かつ$\norm{s(y)}_1 \triangleq k_s \norm{y}_2$を満たす連続的で奇関数的な写像$s: E_2 \to E_1$を構成する。
• 問題をBanach空間$E_1 = l_1(\bbZ_+;\bbR) \times \bbR$および$E_2 = l_1(\bbZ_+;\bbR)$に埋め込み、単位球面$S_1(0) \triangleq \big\{ (\bblambda, \tau) \big\} \text{ で } \norm{\bblambda}_1 + |\tau| = 1$とする。
• $\bar{F}_s$を$l_1(\bbZ_+;\bbR)$における単位球上のコンパクトかつ連続な自己写像とするとき、$f: S_1(0) \to \bar{B}_1(0) \times \bbR$を$f(\bblambda, \tau) = \bar{F}_s(\bblambda)$で定義する。
• $\text{dim}(\text{Ker}(\tilde{a})) = 1$である単位球面$S_1(0)$上でBorsuk-Ulam型の議論を用いて、$\bar{F}_s$の不動点の存在を導出する。
• $\bar{F}_s$の不動点と元の方程式$\tilde{a}x = f(x)$の解との間の同値性を確立し、一般化されたLeray-Schauder定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なLeray-Schauder不動点定理は、Borsuk-Ulam型の位相的原理を用いて無限次元バナッハ空間へ拡張可能か？
• RQ2 $\tilde{a}$-コンパクト写像$f: D(f) \to E_2$が単位球面$S_r(0)$上で定義されるとき、$E_1$内に不動点が存在する条件は何か？
• RQ3 多価逆写像$\tilde{a}^{-1}$に対する連続的で奇関数的な選択$s: E_2 \to E_1$を構成可能か？そのとき$s(y)$は$\tilde{a}(s(y)) = y$かつ$\norm{s(y)}_1 \triangleq k_s \norm{y}_2$（$k_s > k(\tilde{a})$）を満たすか？
• RQ4 コンパクト写像$\bar{F}_s: \bar{B}_1(0) \to \bar{B}_1(0)$の不動点の存在が、単位球面上の作用素方程式$\tilde{a}x = f(x)$の解とどのように関連するか？
• RQ5 この一般化された不動点定理は、固定境界条件を伴う微分方程式および作用素方程式の可解性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $\tilde{a}^{-1}$の連続的で奇関数的な選択$s: E_2 \to E_1$が存在し、$\tilde{a}(s(y)) = y$かつ$\norm{s(y)}_1 \triangleq k_s \norm{y}_2$（任意の$k_s > k(\tilde{a})$）を満たすことが証明された。ここで$k(\tilde{a}) = \norm{\tilde{a}^{-1}} < \infty$である。
• 一般化されたLeray-Schauder不動点定理が成立する：$f: D(f) \to E_2$が$\tilde{a}$-コンパクトであり、$\norm{f(y)}_2 \triangleq k_f^{-1} r$（$y \triangleq x$で$\norm{x}_1 = r$）を満たすならば、単位球面$S_r(0)$上に解$x \triangleq \tilde{a}^{-1}f(x)$が存在する。
• $\bar{F}_s: \bar{B}_1(0) \to \bar{B}_1(0)$の不動点問題は、元の方程式$\tilde{a}x = f(x)$の解と同値であり、解は単位球面$S_1(0)$上のBorsuk-Ulam型の議論から生じる。
• 選択の奇関数性と連続性、および余次元1における球面の位相的非自明性により、解集合$N(\tilde{a}, f) \neq \nul$であることが保証される。
• 2種類の異なる証明が提示された：1つは投影作用素に基づき、もう1つは弱Krein-Milman定理に基づくもので、両者とも、提示された条件下での不動点の存在を確認している。
• 本結果は、固定境界条件を伴う微分方程式および積分方程式から生じる作用素方程式の解法に、位相的基盤を提供する。これは、Borsuk-Ulam型の枠組みにそれらを埋め込むことで実現される。