[論文レビュー] A bound on the mutual information for quantum channels with inefficient measurements

Kurt Jacobs|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2004

Quantum Information and Cryptography被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、シューマッハ＝ウェストモアランド＝ウッターズ（SWW）境界を一般化することで、非効率な量子測定を考慮したホールォー境界の拡張を試み、不完全で非効率な測定に対するより緊密な情報理論的限界を証明する。主な貢献は、量子操作における凹関数としてのエントロピー減少と、ユニタリに共変な測定における純粋状態集合のシュール-凹関数としての情報増加である。

ABSTRACT

The Holevo bound is a bound the mutual information for a given quantum encoding. In 1996 Schumacher, Westmoreland and Wootters [Schumacher, Westmoreland and Wootters, Phys. Rev. Lett. 76, 3452 (1996)] derived a bound which reduces to the Holevo bound for complete measurements, but which is tighter for incomplete measurements. The most general quantum operations may be both incomplete and inefficient. Here we show that the bound derived by SWW can be further extended to obtain one which is yet again tighter for inefficient measurements. This allows us in addition to obtain a generalization of a bound derived by Hall, and to show that the average reduction in the von Neumann entropy during a quantum operation is concave in the initial state, for all quantum operations. This is a quantum version of the concavity of the mutual information. We also show that both this average entropy reduction, and the mutual information for pure state ensembles, are Schur-concave for unitarily covariant measurements; that is, for these measurements, information gain increases with initial uncertainty.

研究の動機と目的

• 現実の量子情報プロトコルで一般的に見られる非効率な量子測定を考慮したホールォー境界の一般化を目的とする。
• SWW境界を超えて、不完全で非効率な測定を伴う量子チャネルに対する情報理論的限界を厳密化することを目的とする。
• 初期状態の平均エントロピー減少が初期状態に関して凹関数であることを証明することで、古典的相互情報量の凹性の量子アナログを確立することを目的とする。
• ユニタリに共変な測定の下で、初期状態の不確実性に関する情報増加の単調性を調査することを目的とする。

提案手法

• 元来不完全ではあるが効率的な測定を想定していたSWW境界を、非効率性を含めるために一般化し、非トレース保存要素を有する正作用素値測定（POVM）として量子操作をモデル化する。
• 一般の測定プロセス、特に検出非効率性を含むものを記述するため、量子操作の形式的枠組みを用いる。
• 変分法と凸解析を用いて、初期状態に関して平均フォン・ノイマンエントロピー減少が凹関数であることを証明する。
• シュール-凹性解析を用いて、ユニタリに共変な測定の下で情報増加が初期状態の不確実性に応じて増加することを示す。
• 完全測定ではホールォー境界に、特定の非効率的測定モデルではホールの境界に還元される、相互情報量に関する一般化された境界を導出する。
• ユニタリに共変な測定の構造を用いて、情報増加に関する対称性に基づく性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非効率的測定を伴う量子チャネルに対して、ホールォー境界をどのようにして厳密化できるか？
• RQ2 量子操作におけるフォン・ノイマンエントロピーの平均減少は、初期状態に関して凹関数か？
• RQ3 ユニタリに共変な測定の下で、純粋状態集合の情報増加は初期不確実性に応じて増加するか？
• RQ4 SWW境界は非効率な測定結果を含めるように一般化可能か？
• RQ5 非効率的測定が存在する状況下で、相互情報量と初期状態の不確実性の関係は何か？

主な発見

• 本稿では、非効率的測定に対してSWW境界よりも tighter な新しい相互情報量の上界を導出しており、ホールォー境界およびホールの境界を一般化する。
• 量子操作におけるフォン・ノイマンエントロピーの平均減少が初期状態に関して凹関数であることが証明され、古典的相互情報量の凹性の量子アナログが確立された。
• 純粋状態集合において、ユニタリに共変な測定の下で、相互情報量および平均エントロピー減少の両方がシュール-凹関数であることが示され、初期状態の不確実性が高くなるほど情報増加が増加することを示唆する。
• 一般化された境界は、完全測定の場合はホールォー境界に還元され、特定の非効率的測定モデルの場合はホールの境界に還元される。
• シュール-凹性の結果から、初期エントロピー（不確実性）が高いほど、ユニタリに共変な測定を用いる際の情報増加が大きくなることが示唆される。
• 本フレームワークは、不完全で非効率的な測定を含むすべての量子操作に適用可能であり、統一的な情報理論的限界を提供する。