[論文レビュー] A BQP-complete problem related to the Ising model partition function via a new connection between quantum circuits and graphs

Joseph Geraci|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子回路とグラフの間の新しいマッピングを導入し、ハイパーグラフ上のオイラー部分グラフの符号付き生成関数 $E'(γ,\lambda)$ の加法的近似という BQP-完全問題を提示する。この関数を二次的符号付き重み列挙（QWGTs）と結びつけることで、イジングモデルの分配関数への直接的な関連が示され、量子コンピュータが古典的には一般のグラフに対して困難なこの関数を効率的に近似できることを示している。

ABSTRACT

We present a simple construction that maps quantum circuits to graphs and vice-versa. Inspired by the results of D.A. Lidar linking the Ising partition function with quadratically signed weight enumerators (QWGTs), we also present a BQP-complete problem for the additive approximation of a function over hypergraphs related to the generating function of Eulerian subgraphs for ordinary graphs. We discuss connections with the Ising partition function.

研究の動機と目的

• インシデント構造に基づいた、量子回路とグラフの間の新しい直接的対応関係を確立すること。
• 標準的生成関数を一般化する、オイラー部分グラフの符号付き生成関数 $E'(γ,\lambda)$ を定義すること。
• ハイパーグラフ上での $E'(γ,\lambda)$ の加法的近似が BQP-完全であることを証明すること。
• QWGTs を通じて、この関数とイジングモデルの分配関数との関係を明らかにすること。
• 非平面グラフにおけるイジング分配関数の多項式時間加法的近似が、このフレームワークによって可能かどうかを調査すること。

提案手法

• キュービットを頂点、2キュービットゲートを辺にマッピングすることで、回路のインシデント構造を保ったままグラフを構築する。
• 回路のインシデント行列の核と、ゲート相互作用から導かれる二次形式を用いて、ハイパーグラフ上での符号付き生成関数 $E'(γ,\lambda)$ を定義する。
• 量子回路と QWGTs 間の関係を活用し、$E'(γ,\lambda)$ の近似が BQP-完全であることを示す。
• 既知の結果を応用して、QWGTs とオイラー部分グラフの生成関数の間の関係を活用する。
• 恒等式 $Z(\beta) = 2^{|V|} \prod_{\{i,j\}\in E} \cosh(\beta J_{ij}) \cdot E(\Gamma, \tanh(\beta J_{ij}))$ を用いて、新しい関数とイジングモデルを関連付ける。
• オイラー部分グラフの偶性制約に注目し、$E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$ が成り立つ条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回路のユニタリ発展がグラフの部分構造上の組合せ的関数に対応するように、量子回路を体系的にグラフにマッピングできるか？
• RQ2 オイラー部分グラフの符号付き生成関数 $E'(\Gamma,\lambda)$ の加法的近似は、古典的コンピュータにとって計算的に困難か？
• RQ3 $E'(\Gamma,\lambda)$ とイジング分配関数の関係は何か？ どのような条件下で $E'(\Gamma,\lambda)$ を用いて $Z$ を近似できるか？
• RQ4 すべての $a \in \ker(CH)$ に対して $a^T \text{lwtr}(H^T C H)a \equiv 0 \mod 2$ が事前に満たされるような特定のグラフクラスは存在するか？ これにより $E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$ が保証される。
• RQ5 このフレームワークを用いて、イジング分配関数の近似が BQP-完全となるような特定の非平面グラフは存在するか？

主な発見

• インシデント構造に基づいた一対一対応関係が確立され、回路要素をグラフ部品に直接翻訳可能であることが示された。
• ハイパーグラフ上での符号付き生成関数 $E'(\Gamma,\lambda)$ が、加法的近似において BQP-完全であることが示された。
• 関数 $E'(\Gamma,\lambda)$ は数学的に二次的符号付き重み列挙（QWGTs）と関連づけられ、QWGTs が既に BQP-完全であることが知られている。
• イジング分配関数は標準的生成関数 $E(\Gamma,\lambda)$ を用いて表現可能であり、本稿では $E'(\Gamma,\lambda) = E(\Gamma,\lambda)$ が成り立つ条件を同定した。これにより、$Z$ の量子近似が可能になる可能性がある。
• 条件 $a^T \text{lwtr}(H^T C H)a \equiv 0 \mod 2$ がすべての $a \in \ker(CH)$ に対して満たされる必要があるが、一般には指数時間の計算が必要となる可能性がある。
• 立方格子は、すべてのオイラー部分グラフが偶数本の辺を持つクラスとして特定され、これにより効率的な回路表現が可能となり、結果として効率的な近似が期待できる。