[論文レビュー] A Busemann hybrid projection-proximal point algorithm for optimization problems on Hadamard manifolds

R. Díaz Millán, O. P. Ferreira+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2026

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ひとこと要約

Hadamard多様体上の凸最適化のために、horosphere射影とBusemann部分微分を用いてFejér降下、全収束性、サブ線形計算量を達成するBHPPMを導入。

ABSTRACT

We study optimization problems on Hadamard manifolds, motivated by recent advances in geometric approaches to optimization on curved spaces, particularly those involving the structure of Busemann functions. We introduce a projection based variant of the proximal point algorithm, termed the \emph{Busemann hybrid projection proximal point algorithm}, which replaces Euclidean hyperplanes with horospheres defined via convex Busemann functions. The algorithm performs projections in closed form using the gradients of these functions, resulting in a geometrically intrinsic scheme that requires no tangent space linear solves. We allow for inexact subgradient evaluations and prove global convergence under controlled inexactness, with a relative error level strictly below one. We establish a Fejér type descent and sublinear complexity with a rate proportional to the inverse square root of the iteration count, and show that the exact variant coincides with the classical Riemannian proximal point algorithm. The framework clarifies the role of Busemann based subdifferentials in optimization on spaces of nonpositive curvature.

研究の動機と目的

• Hadamard多様体上の最適化を動機づけ、非正の曲率設定への凸最適化ツールを拡張する。
• ユークリッドの超平面の代わりにhorosphere（Busemannベースのハイパープレーン）を用いる射影ベースの近似法を開発する。
• 曲率空間における凸似の解析を支えるためにBusemann部分微分を定義し活用する。
• アルゴリズムの厳密版と非厳密版の収束保証を提供する。
• 界数結果を確立し、リーマン最適化におけるBusemann幾何の役割を明確化する。

提案手法

• Busemann関数の勾配を用いてhorosphere射影を定義し、閉形式の射影ステップを可能にする。
• ゼロ曲率でのEuclidean部分微分と一致し、一般には古典的部分微分を含むBusemann部分微分を定式化する。
• 射影ベースの近接スキームを構築し、厳密版を古典的Riemannian proximal pointアルゴリズムに簡約させる。
• 相対誤差が1未満である限り非厳密な部分勾配評価を許容し、Fejér型降下を証明する。
• 全体収束と反復回数の平方根に反比例するサブ線形の反復複雑性境界を証明する。
• 非厳密度が0のとき厳密法が標準のRiemannian PPAと一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Busemann関数とhorospheresをHadamard多様体上の射影/近似法へどう組み込めるか？
• RQ2 相対誤差を伴う非厳密な部分勾配評価でも収束と定性的な降下を保証できるか？
• RQ3 BHPPMの収束性と複雑性はどうなるか、古典的Riemannian proximal pointアルゴリズムとどう関連するか？
• RQ4 Busemannベースの部分微分は古典的部分微分および曲率空間におけるユークリッド的直感とどう連携するか？

主な発見

• BHPPMはBusemann関数により定義されたhorosphereへの射影を用いてFejér型降下を達成する。
• 非厳密BHPPMは相対誤差境界が1未満である限りグローバル収束を持ち、サブ線形速度を示す。
• 厳密BHPPMは古典的Riemannian proximal pointアルゴリズムへと簡約する。
• Busemann部分微分は古典的部分微分に包含され、ゼロ曲率でユークリッド的直感と整合する。
• このフレームワークは非正の曲率空間における最適化におけるBusemannベースの部分微分の役割を明確化する。