[論文レビュー] A change of variable formula with applications to multi-dimensional optimal stopping problems

Cheng Cai, Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$C^1$ 関数 $U: \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ に対して、単調な境界面 $b$ の近傍で2階微分が発散する可能性がある場合にも適用可能な、新しい変数変換の公式を提示する。この公式は、局所時刻や二次共分散を必要とせず、多次元最適停止問題への応用を可能にする。主な貢献は、値関数や境界の正則性に関する仮定を緩和しつつも、古典的 Itô の公式と形式的に一致する公式を導出したことである。これは、アメリカン・オプションの価格設定や自由境界問題への応用において極めて有用である。

ABSTRACT

We derive a change of variable formula for $C^1$ functions $U:\R_+ imes\R^m o\R$ whose second order spatial derivatives may explode and not be integrable in the neighbourhood of a surface $b:\R_+ imes\R^{m-1} o \R$ that splits the state space into two sets $\cC$ and $\cD$. The formula is tailored for applications in problems of optimal stopping where it is generally very hard to control the second order derivatives of the value function near the optimal stopping boundary. Differently to other existing papers on similar topics we only require that the surface $b$ be monotonic in each variable and we formally obtain the same expression as the classical Itô's formula.

研究の動機と目的

• 値関数の2階微分が最適停止境界の近傍で特異となる可能性がある多次元最適停止問題に適用可能な変数変換の公式を開発すること。
• プロセスと勾配の間の局所時刻や二次共分散に依存しないようにすること。これは高次元において技術的に煩雑であるためである。
• 値関数の2階微分および境界面に対する正則性仮定を緩和し、各変数に関して単調性のみを要件とすること。
• 古典的 Itô の公式と形式的に同一の公式を提供することで、金融工学や確率的制御応用における使いやすさを高めること。
• 従来の手法で境界合成過程の半マルコフ性を検証することが実務的に困難であるという問題に対処すること。

提案手法

• 関数 $U$ が $C^1$ であり、境界面 $b$ の近傍で2階微分が可積分でない可能性がある場合の $U(t, X_t)$ に対する変数変換の公式を導出する。
• 境界 $b$ が各空間変数に関して単調であると仮定し、自由境界近傍における値関数の振る舞いを制御可能にする。
• 正の部分関数の滑らかな近似 $\varphi_n$ を用いた摂動論法により非滑らかさを扱い、Gronwall の不等式を応用する。
• 近似過程に Itô の公式を適用し、勾配のモジュラス連続性および関数 $h$ の条件を用いて極限に移行する。
• 時間に依存する係数を持つ SDE を用いて経路ごとの比較を確立し、係数がリプシッツおよびホルダー型の条件を満たすようにする。
• 有界 Variation のドリフトと確率積分を伴う SDE に対する比較定理を活用し、単調性および初期条件の順序性のもとで解の経路ごとの優越性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元拡散過程において、自由境界の近傍で2階微分が可積分でない $C^1$ 関数に対して、変数変換の公式を導出可能か？
• RQ2 局所時刻や二次共分散項を含まないまま、古典的 Itô の公式に類似した公式を得ることは可能か？
• RQ3 最適停止境界の単調性をどのように活用し、値関数およびその微分の振る舞いを制御できるか？
• RQ4 境界の明示的知識や値関数の滑らかさを必要とせずに、多資産アメリカン・オプションやその他の最適停止問題にこの公式を適用可能か？
• RQ5 最小限の正則性仮定のもとで、不連続または特異な勾配項を伴う SDE に対して、経路ごとの比較結果を確立できるか？

主な発見

• 本稿では、$U$ の2階微分が境界近傍で可積分でない場合であっても、古典的 Itô の公式と形式的に一致する変数変換の公式を確立した。
• 公式は極めて弱い仮定のもとで有効である：$U$ は $C^1$ であり、境界 $b$ は各変数に関して単調である。境界合成過程の半マルコフ性や滑らかさは要求しない。
• 局所時刻や二次共分散を回避するために、滑らかな近似 $\varphi_n$ の列と Gronwall の不等式を用いて極限を制御する手法を採用した。
• 時間に依存する係数を持つ SDE に対する比較定理を証明し、$\eta^1 \leq \eta^2$ かつ $Y^1_0 \leq Y^2_0$ のもとで、$Y^1_t \leq Y^2_t$ がほとんど確実に成り立つことを示した。条件は弱い連続性および成長性を要件としている。
• この結果は、数学的ファイナンスにおける広範な最適停止問題クラスに適用可能である。従来の手法では適用不能または過度に複雑な問題に対しても有効である。
• 境界の明示的知識や値関数の正則性を必要とせず、多資産アメリカン・オプションにおける最適停止境界の積分方程式やヘッジポジションの動的特性を導出可能である。