[論文レビュー] A Characterization of Approximation Resistance

Subhash Khot, Madhur Tulsiani+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一意的ゲーム予想（UGC）の下で、制約充足問題（CSP）における近似耐性を完全に特徴づける。近似耐性であるかどうかの必要十分条件は、関連する凸多面体上に特定の対称性を持つ確率測度が存在することである。この特徴づけは、混合線形および半定値計画法の階層、およびSherali-Adamsの線形計画法の階層に対しても成り立ち、CSPにおける近似アルゴリズムの限界を統一的に理解するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

A predicate f:{-1,1}^k -> {0,1} with ρ(f) = \frac{|f^{-1}(1)|}{2^k} is called {\it approximation resistant} if given a near-satisfiable instance of CSP(f), it is computationally hard to find an assignment that satisfies at least ρ(f)+Ω(1) fraction of the constraints. We present a complete characterization of approximation resistant predicates under the Unique Games Conjecture. We also present characterizations in the {\it mixed} linear and semi-definite programming hierarchy and the Sherali-Adams linear programming hierarchy. In the former case, the characterization coincides with the one based on UGC. Each of the two characterizations is in terms of existence of a probability measure with certain symmetry properties on a natural convex polytope associated with the predicate.

研究の動機と目的

• 制約充足問題（CSP）における近似耐性を示す述語の完全な特徴づけを提供すること。
• 述語が近似耐性であるための必要十分条件として、関連する凸多面体上に対称的な確率測度が存在することを確立すること。
• この特徴づけを、混合線形および半定値計画法の階層およびSherali-Adamsの線形計画法の階層に拡張すること。
• ペアワイズ独立分布や整数性ギャップに基づく先行研究を統合・一般化すること。
• 一意的ゲーム予想に基づき、CSPの複雑性を、耐性を示すための明確な構造的条件として解明すること。

提案手法

• 各述語fに対して、満たされる割り当てのすべての可能な分布を表す凸多面体を定義する。
• 近似耐性のための主要な構造的条件として、この多面体上に対称的な確率測度を導入する。
• 一意的ゲーム予想（UGC）を用いて、このような対称的測度の存在が近似耐性を特徴づけることを証明する。
• Sherali-Adamsおよび混合LP/SDP階層を適用し、同じ対称的測度条件がこれらの枠組みでも耐性を特徴づけることを示す。
• 反復的条件付き確率分布と誤差バウンドを用いて、変数の小さな集合上に局所的に一貫した確率分布の族を構築する。
• RaghavendraとSteurerの結果を活用し、近似的に局所的に一貫した分布を、有界な全 variation 距離をもってグローバルに一貫した分布に持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意的ゲーム予想の下で、CSPの述語が近似耐性であるための構造的条件は何か？
• RQ2 近似耐性の特徴づけは、UGCの枠組みを超えて、線形計画法および半定値計画法の階層へ拡張可能か？
• RQ3 満たされる割り当ての多面体上に対称的な確率測度が存在することは、Sherali-Adams階層において正確に近似耐性に対応するか？
• RQ4 LPおよびSDPの緩和階層は、特定の組合せ的構造を持つ述語の近似耐性とどのように関係するか？
• RQ5 満たされる割り当て上でのペアワイズ独立分布と、より広範な近似耐性の概念との正確な関係は何か？

主な発見

• 一意的ゲーム予想の下で、述語fが近似耐性であるための必要十分条件は、fに付随する凸多面体上に対称的な確率測度が存在することである。
• 混合線形および半定値計画法の階層においても、同じ特徴づけが成り立ち、対称的測度の存在は必要かつ十分条件である。
• Sherali-Adamsの線形計画法の階層に対しても特徴づけが拡張され、このような測度の存在は、LP緩和の整数性ギャップが1に近づくことを示唆する。
• 任意のε > 0に対して、n変数のCSP(f)のインスタンスが存在し、すべての整数的割り当てが制約の割合[ρ(f)−ε, ρ(f)+ε]の範囲内で満たされるが、cε·log log nラウンドのSherali-Adams緩和の値は1−O(k√ε)以上である。
• この構成により、Sherali-Adams階層における整数性ギャップとラウンド数の間で近似的に最適なトレードオフが達成され、近似耐性を示す述語に対して、対数ラウンドの後でも充足可能性を検出できないことが示された。