[論文レビュー] A Characterization of Efficiently Compilable Constraint Languages

Christoph Berkholz, Stefan Mengel+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2023

Formal Methods in Verification参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、DNNF や構造的 DNNF などの多項式サイズの知識コンpilation形式に効率的にコンパイル可能な制約言語の完全な特徴付けを提供する。多項式サイズのコンパイルの必要十分条件として、強いブロックワイド分解可能性という概念を導入し、決定可能基準と非コンパイル可能な言語に対するタイトな無条件下界を提示する。

ABSTRACT

A central task in knowledge compilation is to compile a CNF-SAT instance into a succinct representation format that allows efficient operations such as testing satisfiability, counting, or enumerating all solutions. Useful representation formats studied in this area range from ordered binary decision diagrams (OBDDs) to circuits in decomposable negation normal form (DNNFs). While it is known that there exist CNF formulas that require exponential size representations, the situation is less well studied for other types of constraints than Boolean disjunctive clauses. The constraint satisfaction problem (CSP) is a powerful framework that generalizes CNF-SAT by allowing arbitrary sets of constraints over any finite domain. The main goal of our work is to understand for which type of constraints (also called the constraint language) it is possible to efficiently compute representations of polynomial size. We answer this question completely and prove two tight characterizations of efficiently compilable constraint languages, depending on whether target format is structured. We first identify the combinatorial property of "strong blockwise decomposability" and show that if a constraint language has this property, we can compute DNNF representations of linear size. For all other constraint languages we construct families of CSP-instances that provably require DNNFs of exponential size. For a subclass of "strong uniformly blockwise decomposable" constraint languages we obtain a similar dichotomy for structured DNNFs. In fact, strong (uniform) blockwise decomposability even allows efficient compilation into multi-valued analogs of OBDDs and FBDDs, respectively. Thus, we get complete characterizations for all knowledge compilation classes between O(B)DDs and DNNFs.

研究の動機と目的

• 与えられた制約言語における制約充足問題（CSP）が、多項式サイズの知識コンパイル形式にコンパイル可能であるための正確な組合せ的条件を同定すること。
• CSP を構造的 DNNF と非構造的 DNNF の両方にコンパイルする際の複雑さの地図を解明し、多項式サイズの構造的表現を許容する言語と許容しない言語を区別すること。
• 強いブロックワイド分解可能性および強い一様ブロックワイド分解可能性のための決定可能基準を提供し、会議版で残されたオープンな問題を解決すること。
• 非コンパイル可能な制約言語における CSP の DNNF 表現の無条件サイズ下界を確立すること。これは、未解決の複雑さ仮定に依存しない。

提案手法

• 制約言語のブロック構造に基づく二項射影の性質を用いて、強いつぶれ分解可能性という組合せ的性質を定義する。
• 制約言語が強いブロックワイド分解可能であれば、その上に定義されたすべてのCSPインスタンスが、多項式時間で線形サイズのDNNF表現にコンパイル可能であることを証明する。
• 関係の分解可能性を行列に基づく特徴付けを用いて、制約言語が強いブロックワイド分解可能性条件を満たすかどうかを判定する。
• 変数間の相互作用のグラフ表現における連結成分に基づく新しい分解アーギュメントを用いて、解集合の分解可能性を証明する。
• 強いつぶれ分解可能性を欠く制約言語に対して、指数的サイズのDNNF表現を必要とするCSPインスタンスの明示的族を構築する。
• 構造的 DNNF への拡張として、強い一様ブロックワイド分解可能性を導入し、これは多項式サイズの ODD 表現を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの制約言語が、すべてのCSPインスタンスに対して多項式サイズのDNNF表現を許容するか？
• RQ2 知識コンパイルの観点から、多項式時間で解ける言語とそうでない言語を分ける正確な組合せ的条件は何か？
• RQ3 構造的 DNNF（例：ODD）にコンパイル可能かどうか、非構造的 DNNF のみにコンパイル可能な言語との区別を特徴付け、決定可能か？
• RQ4 強い（一様）ブロックワイド分解可能性のための決定可能基準は存在するか？また、それが制約言語の分類に使えるか？

主な発見

• 制約言語 Γ が強いブロックワイド分解可能であることは、Π₂(Γ) に属するすべての二項射影がブロックワイド分解可能（すなわち長方形）であり、かつどの二つの関係に対してもブロック構造が互換でないことを意味する。
• 強いブロックワイド分解可能な任意の制約言語に対して、その上でのすべてのCSPインスタンスは、多項式時間で線形サイズのDNNF表現にコンパイル可能である。
• 強いブロックワイド分解可能性を欠く制約言語に対しては、指数的サイズのDNNF表現を必要とするCSPインスタンスの族が存在する。
• 強いブロックワイド分解可能だが、強い一様ブロックワイド分解可能でない制約言語が存在し、これは多項式サイズのFDDを許容するが、指数的サイズのODDを必要とする。
• 本稿は、強いブロックワイド分解可能性のための決定可能基準を提供し、会議版で残されたオープン問題を解決した。
• すべての下界は無条件であり、未解決の複雑さ仮定に依存せず、結果の強固さと広範な適用可能性を保証する。