[論文レビュー] A characterization of ramification groups of local fields with imperfect residue field

Takeshi Saito|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、不完全な残渣体をもつ局所体のガロア群上の上付き番号付けフィルトレーション $G^r$ を公理的特徴づけする。これは、接的に支配的拡大と整合し、残渣体が完全な場合に古典的ケースと一致することを要件とする。この特徴づけを用いて、正標数におけるアーベル拡大について、二つのフィルトレーション $G^n$ と $G^n_{\rm Ma}$ の等価性を新たな証明を与え、微分形式への自然な単射を用いて、修正されたスワン乗数準同型を同定する。

ABSTRACT

We give a characterization of ramification groups of local fields with imperfect residue fields, using those for local fields with perfect residue fields. As an application, we reprove an equality of ramification groups for abelian extensions defined in different ways.

研究の動機と目的

• 不完全な残渣体をもつ局所体に対する上付き番号付けフィルトレーション $G^r$ の公理的特徴づけを提供すること。
• 接的に支配的拡大と、完全な残渣体の場合への還元を用いて、フィルトレーション $G^r$ の一意性と存在性を確立すること。
• 公理的枠組みを用いて、正標数におけるアーベル拡大について $G^n = G^n_{\rm Ma}$ の等式を再証明すること。
• マツダとヤタガワによって定義された準同型 $\mathrm{rsw}'$ と、分岐群から余接空間への自然な単射 $\mathrm{Hom}(G^r, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+1}, H_1(L_{\bar{F}/S}))$ を同一視すること。
• 関手性と基底変換を用いて、主フィルトレーション $G^r$ を通じて対数的上付き番号付けフィルトレーション $G^r_{\log}$ を間接的に特徴づけること。

提案手法

• 二つの公理に基づいてフィルトレーション $G^r$ を定義する：残渣体が完全な場合に古典的フィルトレーションと一致すること、および接的に支配的拡大と整合すること。
• 余接複体による残渣体の接空間を用いて、接的に支配的拡大を定義する。ここでは、接空間への誘導写像が全射となる。
• アーベル拡大において、ハッセ＝アルフの定理を用いて、フィルトレーション $G^n$ が整数 $n > 1$ で添え字づけられることを示し、マツダの $G^n_{\rm Ma}$ と比較可能であることを保証する。
• 一般化されたカトウの修正されたスワン乗数の一般化として、自然な単射 $\mathrm{Hom}(G^r, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+1}, H_1(L_{\bar{F}/S}))$ を構成する。
• 両者が同一の公理を満たすことを検証することで、マツダとヤタガワが定義した準同型 $\mathrm{rsw}'$ が、この自然な単射と一致することを証明する。
• 等標数 $p > 0$ における基底変換と同型 $H_1(L_{\bar{F}/S}) \cong \Omega^1_{{\cal O}_K} \otimes_{{\cal O}_K} \bar{F}$ を用いて、フィルトレーションを微分形式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不完全な残渣体をもつ局所体のガロア群上の上付き番号付けフィルトレーション $G^r$ は、どのように一意に特徴づけられるか？
• RQ2 ガロア群 $G = \mathrm{Gal}(L/K)$ のフィルトレーションが、残渣体が完全な場合に古典的上付き番号付けと一致するための条件は何か？
• RQ3 マツダが定義した $G^n_{\rm Ma}$ は、正標数のアーベル拡大における自然なフィルトレーション $G^n$ とどのように関係するか？
• RQ4 マツダとヤタガワが定義した準同型 $\mathrm{rsw}'$ は、分岐群から余接空間への自然な単射と同値か？
• RQ5 対数的上付き番号付けフィルトレーション $G^r_{\log}$ は、主フィルトレーション $G^r$ を通じて間接的に特徴づけられるか？

主な発見

• 不完全な残渣体をもつ局所体における上付き番号付けフィルトレーション $G^r$ は、二つの公理によって一意に特徴づけられる：残渣体が完全な場合に古典的フィルトレーションと一致すること、および接的に支配的拡大と整合すること。
• $G^n_{\rm Ma}$ はマツダによって定義されたフィルトレーションは、$G^n$ と同一の公理を満たすため、等標数 $p > 0$ の局所体上のアーベル拡大において、すべての整数 $n > 1$ に対して $G^n = G^n_{\rm Ma}$ が成り立つ。
• 自然な単射 $\mathrm{Hom}(G^r, \mathbf{F}_p) \to \mathrm{Hom}_{\bar{F}}(\mathfrak{m}_{\bar{K}}^r / \mathfrak{m}_{\bar{K}}^{r+1}, H_1(L_{\bar{F}/S}))$ は、[5] および [9] で定義された準同型 $\mathrm{rsw}'$ と一致し、非対数的設定における修正されたスワン乗数として同定される。
• ハッセ＝アルフの定理により、アーベル拡大において $G^n$ は整数 $n > 1$ で添え字づけられ、マツダの $G^n_{\rm Ma}$ と比較可能であることが保証される。
• 分岐指数が 1 である接的に支配的拡大 $K' / K$ に対して、各層の商群 $G^n / G^{n+1} \to G'^n / G'^{n+1}$ への誘導写像は全射である。これは、公理の帰納的検証を支援する。
• 対数的フィルトレーション $G^r_{\log}$ は、$G^r$ を通じて間接的に特徴づけられる。基底変換と、分岐指数が 1 のとき $G^r_{\log} \cong G^r$ であるという事実を用いる。