[論文レビュー] A characterization of supersmoothness of multivariate splines

Michael S. Floater, Kaibo Hu|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、頂点を共有する単体の集合からなるセル上の多項式スプライン空間の退化性と関連付けることで、多変数スプラインにおける超滑らかさの特徴付けを提供する。この特徴付けを用いて、Clough-Tocher、Alfeld、Worsey-Farin分割および2セル構成を含む、さまざまなメッシュ構成における超滑らかさの最大次数を導出し、多項式の次数とメッシュ構造を用いて最高に達成可能な滑らかさの次数を明示的な式で表す。

ABSTRACT

We consider spline functions over simplicial meshes in $\RR^n$. We assume that the spline pieces join together with some finite order of smoothness but the pieces themselves are infinitely smooth. Such splines can have extra orders of smoothness at a vertex, a property known as \emph{supersmoothness}, which plays a role in the construction of multivariate splines and in the finite element method. In this paper we characterize supersmoothness in terms of the degeneracy of spaces of polynomial splines over the cell of simplices sharing the vertex, and use it to determine the maximal order of supersmoothness of various cell configurations.

研究の動機と目的

• 頂点に隣接する単体の集合からなるセル上の多項式スプライン空間の退化性を用いて、多変数スプラインにおける超滑らかさを特徴付けること。
• n次元単体メッシュにおけるさまざまなセル構成に対する、超滑らかさの最大次数を特定すること。
• スプラインの各部品が無限に滑らかであるものと仮定して、従来の超滑らかさに関する結果を高次元空間および高次の滑らかさに拡張すること。
• スプラインの滑らかさと多項式空間上の代数的条件を結びつける一般化された枠組みを提供し、有限要素法やスプライン構築に応用可能なものとする。

提案手法

• 本稿は、頂点における超滑らかさの特徴付けを、その頂点に隣接する単体の集合からなるセル上の多項式スプライン空間の退化性を用いて行う。
• 多項式スプライン空間の次元公式を用いて、空間が退化する条件を特定し、これが超滑らかさの存在を示すことと対応することを示す。
• 本手法では、スプライン空間の公式における特定の次元項の和が消えることと超滑らかさが関連することを示す定理1を適用する。
• Alfeld分割やWorsey-Farin分割といった特定の構成に対しては、先行研究（例：SchenckとSorokina [10]）で得られた既知の次元公式を活用して、最大の超滑らかさを計算する。
• 2セル構成については、非単体的成分上に滑らかさがゼロとなるスプライン空間の新しい次元公式を導出し、最大超滑らかさの閉形式表現を得る。
• Corollary 1を適用して、スプライン空間が退化する最大の多項式次数 d を特定し、これにより最大の超滑らかさ次数を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体の集合からなるセル上の多項式スプライン空間にどのような条件が課されると、頂点で超滑らかさが生じるか？
• RQ2 n次元空間におけるAlfeld分割で達成可能な超滑らかさの最大次数は何か？
• RQ3 Worsey-Farin分割や2セル構造のようなメッシュ構成において、最大超滑らかさ次数はどのように依存するか？
• RQ4 2次元を超える高次元単体メッシュへと、超滑らかさの特徴付けを拡張することは可能か？
• RQ5 スプライン空間の退化性は、頂点における追加の滑らかさの存在を正確に示しているか？

主な発見

• n次元空間におけるAlfeld分割の最大超滑らかさ次数は、$\rho_{n,n} = n(n+1) - 1$ で与えられる。
• Worsey-Farin分割 $\Delta_{n-1,n}$ に対しては、最大超滑らかさ次数は $\rho_{n-1,r} = r + (n-1)(r+1)$ であり、この式は整列した分割に対して成り立つ。
• 3次元空間では、Worsey-Farin分割の最大超滑らかさ次数は $\rho_{2,1} = 2$ であり、既知の結果と整合的である。
• n次元空間における2セル構成では、最大超滑らかさ次数は $r + (n-1)(r+1)$ であり、$\dim S_d^r(\Delta_2) = \dim \Pi_d + \dim \Pi_{d - n(r+1)}$ が成り立つ。
• $\mathbb{R}^2$ では2セル構成の最大超滑らかさ次数は $2r+1$ であり、$\mathbb{R}^3$ では $3r+2$ である。
• スプライン空間の退化性による特徴付けは、任意の単体メッシュ構成における超滑らかさの特定に一般かつ計算可能な基準を提供する。