[論文レビュー] A characterization of unbounded Fredholm operators

А. Г. Рамм|ArXiv.org|Jan 31, 2003

Matrix Theory and Algorithms参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉かつ稠密に定義された線形作用素 $ A $ がフレドホルム作用素であるための必要十分条件を示す。具体的には、$ A = B - F $ と分解可能であることを証明する。ここで $ B $ は定義域と値域がそれぞれ $ D(A) $ と $ Y $ で、全単射かつ閉作用素であり、$ F $ は有限ランク作用素である。この結果は、有界フレドホルム作用素の特徴付けを非有界の場合に一般化し、非有界作用素に対してもフレドホルムの補題が成り立つことを示している。

ABSTRACT

This paper is a continuation of the paper (A.G.Ramm, Amer. Math. Monthly, 108, N 9, (2001), 855-860), where bounded Fredholm operators are studied. The theory of bounded linear Fredholm-type operators is presented in many texts. This paper is written for a broad audience and the author tries to give simple and short arguments.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における有界作用素から非有界な閉線形作用素へのフレドホルム作用素の特徴付けを拡張すること。
• 非有界な閉作用素で定義域が稠密な作用素がフレドホルムであるための必要十分条件を確立すること。
• 非有界フレドホルム作用素に対してフレドホルムの補題が成り立つことを証明すること。
• 非有界フレドホルム作用素を解析するための構成的枠組みを、双対基底系と有限ランク摂動を用いて提供すること。
• 文献における非有界フレドホルム作用素の扱いが不十分であるというギャップを埋め、有界ケースに比べてしばしば軽視されがちな非有界ケースを形式的に取り扱うこと。

提案手法

• フレドホルム作用素 $ A \in \text{Fred}(X,Y) $ を、値域が閉で、核と余核が有限次元である閉作用素かつ定義域が稠密な線形作用素として定義する。
• 作用素 $ A $ と $ A^* $ の核に対する双対基底系を用いて、定義域 $ D(B) = D(A) $、値域 $ R(B) = Y $、核 $ N(B) = \{0\} $ を満たす全単射で閉作用素 $ B $ を構成する。
• 作用素 $ F $ を $ A = B - F $ となるように定義し、$ X $ と $ Y $ の双対基底系を用いて構成することで、$ F $ が有限ランクとなるように保証する。
• 閉グラフ定理を適用し、$ B $ の全単射性と閉性を用いて、$ B $ が有界な逆作用素を持つことを証明する。
• $ F $ が有限ランクであるため $ B^{-1}F $ がコンパクトであることを用い、閉性と値域の閉性の証明における収束性と一様有界性を確立する。
• $ T = B^{-1}F $ として、$ I - T $ の核が有限次元であることから、フレドホルムの補題を適用し、$ A $ のフレドホルム性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界フレドホルム作用素の特徴付けを、バナッハ空間における非有界な閉線形作用素へ拡張できるか？
• RQ2 非有界フレドホルム作用素は、全単射作用素と有限ランク摂動の和として、どのように正確に分解できるか？
• RQ3 非有界フレドホルム作用素に対してフレドホルムの補題が成り立つか？また、作用素の分解を用いてどのように証明できるか？
• RQ4 $ A $ と $ A^* $ の核と余核は、全単射作用素 $ B $ と有限ランク作用素 $ F $ の構成において、どのように関係しているか？
• RQ5 摂動が有限ランクであるという性質が、作用素 $ A $ の閉性とフレドホルム性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非有界で閉作用素かつ定義域が稠密な作用素 $ A $ がフレドホルムであるための必要十分条件は、$ A = B - F $ と分解できることである。ここで $ B $ は閉作用素かつ全単射で、$ D(B) = D(A) $、$ R(B) = Y $ を満たし、$ F $ は有限ランク作用素である。
• 作用素 $ A $ と $ A^* $ の核に対する双対基底系を用いて構成された作用素 $ B $ は下から有界であり、有界な逆作用素を持つため、全単射であることが保証される。
• 作用素 $ A $ の値域は閉である。これは、任意の収束列 $ Au_n \to f $ に対して $ \{u_n\} $ が有界で、ある $ u \in D(A) $ に収束することを示すことで証明される。このとき $ f \in R(A) $ である。
• 作用素 $ A $ の核は有限次元である。これは $ I - T $ の核と同型であり、$ T = B^{-1}F $ が有限ランク作用素であることから、$ \dim N(I - T) < \infty $ である。
• 作用素 $ A $ の余核も有限次元である。$ \dim N(A^*) = \dim N(I - T^*) < \infty $ であり、$ T^* $ は有限ランク作用素 $ T $ の随伴作用素である。
• 非有界フレドホルム作用素に対してもフレドホルムの補題が成り立つ。方程式 $ Au = f $ が解を持つための必要十分条件は、$ f \perp N(A^*) $ であることである。これは $ N(A^*) $ が有限次元であることに起因する。