[論文レビュー] A Class of Non-Parametric Statistical Manifolds modelled on Sobolev Space

Nigel J. Newton|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 37被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、重み付きソボレフ空間をモデル空間として用い、線形成長を示す変形指数関数を導入することで、Nemytskii作用素の連続性を保証し、ℝᵈ 上の有限測度の無限次元統計多様体を構築する。主な貢献は、フィッシャー＝ラオ計量を用いた弱リーマン構造の確立であり、密度関数およびそのチャートが混合ノルムおよび固定ノルムソボレフ空間において連続に変化することの証明であり、非線形フィルタリングおよびフォッカー＝プランク方程式への応用を可能にする。

ABSTRACT

We construct a family of non-parametric (infinite-dimensional) manifolds of finite measures on $R^d$. The manifolds are modelled on a variety of weighted Sobolev spaces, including Hilbert-Sobolev spaces and mixed-norm spaces. Each supports the Fisher-Rao metric as a weak Riemannian metric. Densities are expressed in terms of a deformed exponential function having linear growth. Unusually for the Sobolev context, and as a consequence of its linear growth, this "lifts" to a nonlinear superposition (Nemytskii) operator that acts continuously on a particular class of mixed-norm model spaces, and on the fixed norm space $W^{2,1}$; i.e. it maps each of these spaces continuously into itself. It also maps continuously between other fixed-norm spaces with a loss of Lebesgue exponent that increases with the number of derivatives. Some of the results make essential use of a log-Sobolev embedding theorem. Each manifold contains a smoothly embedded submanifold of probability measures. Applications to the stochastic partial differential equations of nonlinear filtering (and hence to the Fokker-Planck equation) are outlined.

研究の動機と目的

• 統計的推論および確率過程への応用を目的として、無限次元ソボレフ空間をモデルにした非パラメトリック統計多様体を構築すること。
• 無限次元設定において、KL発散度などの統計的発散度の滑らかさと連続性を保証する課題に取り組むこと。
• サンプル空間ℝᵈ の位相的・微分的構造を、ソボレフ型モデル空間を通じて統計多様体の構築に統合すること。
• 適切な正則性を持つ多様体を構築することで、特に非線形フィルタリングおよびフォッカー＝プランク方程式への応用を可能にすること。

提案手法

• 密度関数と対数密度関数の両方を制御するバランスの取れたチャートを用い、モデル空間内でpおよびlog pの滑らかさを保証することで、統計的発散度の滑らかさを確保する。
• 線形成長を示す変形指数関数を用いて多様体を定義し、これにより関連するNemytskii作用素が混合ノルムおよび固定ノルムソボレフ空間上で連続に作用することを可能にする。
• 対数ソボレフ埋め込み定理を適用し、異なるソボレフ空間およびルベーグ空間間でのNemytskii作用素の連続性および有界性を確立する。
• 重み付きヒルベルト＝ソボレフ空間および混合ノルム空間（W²,¹を含む）をモデルに多様体を構築し、フィッシャー＝ラオ計量が弱リーマン計量として適切に定義されることを保証する。
• 重ね合わせ（Nemytskii）作用素を用いて、ソボレフ空間内の関数を同じ空間へ写像し、高階微分におけるルベーグ可積分性の損失を制御する。
• 確率測度の多様体内への埋め込みを用いて非線形フィルタリングへの応用を提示し、条件付き密度のダイナミクスを確率的偏微分方程式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ソボレフ空間上に非パラメトリック統計多様体を構築する際、フィッシャー＝ラオ計量が弱リーマン構造として保たれる条件は何か？
• RQ2 変形指数関数に課されるどのような条件が、混合ノルムおよび固定ノルムソボレフ空間上でのNemytskii作用素の連続性を保証するか？
• RQ3 変形指数関数の線形成長が、ソボレフモデル空間内での密度関数およびそのチャートの正則性にどのように影響するか？
• RQ4 対数ソボレフ埋め込み定理は、これらの多様体上での連続な重ね合わせ作用素の構築をどのように促進するか？
• RQ5 このような多様体は、確率測度の滑らかな埋め込みを可能とし、フォッカー＝プランク方程式および非線形フィルタリング方程式への応用が可能か？

主な発見

• 線形成長を示す変形指数関数に関連するNemytskii作用素は、混合ノルムソボレフ空間からそれ自身へ連続に写像され、チャートの連続性が保証される。
• 2階微分以上の固定ノルム空間では、Nemytskii作用素がルベーグ指数の損失を引き起こし、微分の次数が増えるほどその損失が大きくなる。
• 重み付きソボレフ空間をモデルにした多様体上では、フィッシャー＝ラオ計量が弱リーマン計量として適切に定義される。
• 多様体は、確率測度の滑らかな部分多様体を含み、無限次元設定における統計的推論を可能にする。
• 条件付き密度のダイナミクスを多様体に埋め込むことで、非線形フィルタリングおよびフォッカー＝プランク方程式への応用が可能になる。
• Kaniadakis 1-指数関数は、同様の正則性を持つ多様体構造をもたらすが、統計的幾何的性質は異なる。