[論文レビュー] A Class of Nonbinary Codes and Their Weight Distribution

Xiangyong Zeng, Nian Li+1 more|ArXiv.org|Feb 23, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、奇素数 $p$ に対して、有限体上のトレース関数および二次形式を用いて定義される $p$-元非バイナリ符号 $Π^k$ の新しいクラスを導入し、$d$ が奇数である条件 $τ(n/2,k) = τ(n/2-k,2k) = d$ の下でその重み分布を完全に特定する。主な貢献は、重み分布の明示的特定および周期 $p^n - 1$、最大相互相関 $p^{n/2 + d} + 1$ の $p^{3n/2}$ 個の非バイナリ系列の族の構成であり、これは奇数の特徴を持つバイナリ・カサミ系列を一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, for an even integer $n\geq 4$ and any positive integer $k$ with ${ m gcd}(n/2,k)={ m gcd}(n/2-k,2k)=d$ being odd, a class of $p$-ary codes $\mathcal{C}^k$ is defined and their weight distribution is completely determined, where $p$ is an odd prime. As an application, a class of nonbinary sequence families is constructed from these codes, and the correlation distribution is also determined.

研究の動機と目的

• 奇素数体上の非バイナリ符号へのバイナリ・カサミ符号の構成を拡張すること。
• 特定の数論的条件（$k$ と $n$ の間の）の下で、$p$-元循環符号 $Π^k$ の完全な重み分布を特定すること。
• 符号構造を応用して、低相関かつ明示的に特定可能な相関分布を有する非バイナリ系列の族を構成すること。
• 奇数の $p$ に対して $Π_p$ 上の非バイナリケースに、バイナリ・カサミ系列の性質を一般化すること。

提案手法

• 符号 $Π^k$ を、$\Pi_{\gamma,\delta}(x)$ が $x^{p^{n/2}+1}$ および $x^{p^k+1}$ を含むトレース関数の和であることを用いて、$c(\gamma,\delta,\epsilon) = \big(\Pi_{\gamma,\delta}(x) + \operatorname{Tr}^n_1(\epsilon x)\big)_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*}$ として定義する。
• 方程式 $\delta^{p^{n-k}}y^{p^{n/2-k}+1} + \gamma y + \delta = 0$ の根の性質と指数和の性質を用いて、二次形式 $\Pi_{\gamma,\delta}(x)$ のランクを分析する。
• 奇数の特徴を持つ有限体上の二次形式の理論を用いて、$\gcd$ 条件に従い、$\Pi_{\gamma,\delta}$ のランクを $n$、$n-d$、または $n-2d$ として分類する。
• 非自明な加法的特徴 $\psi$ を用いて、指数和 $S(\gamma,\delta,\epsilon) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^n}^*} \psi(\Pi_{\gamma,\delta}(x) + \operatorname{Tr}^n_1(\epsilon x))$ を評価することで、重み分布を計算する。
• $\mathbb{F}_{p^m} \times \mathbb{F}_{p^n} \times (\mathbb{F}_{p^n} \setminus \{1\})$ 上で $S(\gamma,\delta,\epsilon) - 1$ の分布を分析することにより、系列族 $\mathcal{F}^k$ の相関分布を導出する。
• 符号 $Π^k$ のコドウワードを用いて、周期 $p^n - 1$ の $p^{3n/2}$ 個の系列からなる系列族 $\mathcal{F}^k$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p$ に対して、$d$ が奇数である条件 $τ(n/2,k) = τ(n/2-k,2k) = d$ の下で、$p$-元符号 $Π^k$ の完全な重み分布は何か？
• RQ2 奇数の特徴を持つ有限体上の二次形式の性質と指数和を用いて、$Π^k$ の重み分布を特定できるか？
• RQ3 $\u03a0^k$ から構成された系列族 $\mathcal{F}^k$ の相関分布は何か？
• RQ4 $\mathcal{F}^k$ の最大相関絶対値は、パラメータ $n$、$k$、$p$ にどのように依存するか？
• RQ5 バイナリ・カサミ系列の構成を、奇数の $p$ に対する $Π_p$ 上の非バイナリ系列に一般化できるか？同様の相関特性を持つものか？

主な発見

• 条件 $τ(n/2,k) = τ(n/2-k,2k) = d$ かつ $d$ が奇数の下で、$p$-元符号 $Π^k$ の重み分布は完全に特定され、3つの可能な重み $p^{n-1}(p-1) - p^{n/2}$、$p^{n-1}(p-1) - p^{n/2 - d}$、$p^{n-1}(p-1) - p^{n/2 + d}$ をとる。
• 符号 $Π^k$ は長さ $p^n - 1$、次元 $5n/2$ を持ち、$d=1$ のとき最小距離が $(p-1)p^{n-1} - p^{n/2}$ に達する。
• 系列族 $\mathcal{F}^k$ は $p^{3n/2}$ 個の系列から構成され、それぞれ周期 $p^n - 1$ を持ち、最大相関絶対値が $p^{n/2 + d} + 1$ である。
• 系列族 $\mathcal{F}^k$ の相関分布は表4に詳細に示されるように5p + 2個の異なる値を取り、$Π^k$ の重み分布から明示的に導出される。
• $d=1$ のとき、最大相関絶対値は $p^{n/2 + 1} + 1$ であり、族のサイズは $p^{3n/2}$ である。これは非バイナリ設定下でのバイナリ・カサミ系列の性質と一致する。
• 周期 $\leq (p^n - 1)/2$ の系列を回避することで、最適な相関特性を有する完全周期系列を保証する。