[論文レビュー] A classification of generic Poisson structures on a compact oriented surface

Olga Radko|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2001

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、互いに交わらない単純閉曲線に沿って線形に消える、コンパクトな向きつけ可能曲面上の一般性のあるポアソン構造を分類する。著者らは、向きを保つポアソン同型写像に関して完全な不変量の集合を導入し、第二ポアソンコホロロジーが、それぞれちょうど一つの不変量を変えるような無限小変形によって生成されることを示す。球面の場合には、このような構造のモジュライ空間を明示的に記述する。

ABSTRACT

Poisson structures vanishing linearly on a set of smooth closed non-intersecting curves are generic in the set of all Poisson structures on a compact connected oriented surface. We construct a complete set of invariants classifying these structures up to an orientation-preserving Poisson isomorphism. We show that there is a set of non-trivial infinitesimal deformations which generate the second Poisson cohomology and such that each of the deformations changes exactly one of the classifying invariants. As an example, we consider generic Poisson structures on the sphere, and in this case give an explicit description of the moduli space of generic Poisson structures up to a Poisson isomorphism.

研究の動機と目的

• コンパクトで連結な向きつけ可能曲面における一般性のあるポアソン構造を、向きを保つポアソン同型写像に関して分類すること。
• これらの構造を完全に分類するための完全な不変量の集合を特定すること。
• 第二ポアソンコホロロジーを解析し、それがそれぞれちょうど一つの不変量を変えるような変形によって生成されることを示すこと。
• 2次元球面上の一般性のあるポアソン構造のモジュライ空間を明示的に記述すること。

提案手法

• 著者らは、有限個の互いに交わらない滑らかで閉じた非交差曲線に沿って線形に消えるポアソン構造を考察する。
• 消える部分の構造と、その近傍におけるポアソンテンソルの振る舞いから導かれる、位相的および幾何的不変量の集合を定義する。
• ポアソンコホロロジーを用いて無限小変形を解析し、第二コホロロジーの各生成子がちょうど一つの不変量を変えることを示す。
• 分類を球面に適用し、その位相的性質を活用して、このようなポアソン構造のモジュライ空間を明示的に記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな向きつけ可能曲面上の一般性のあるポアソン構造をポアソン同型写像に関して完全に分類するための不変量は何か？
• RQ2 これらのポアソン構造の無限小変形は、第二ポアソンコホロロジーとどのように関係するか？
• RQ3 どの変形がちょうど一つの不変量を変えるのか？ そしてそれらはどのようにコホロロジーを生成するのか？
• RQ4 2次元球面上の一般性のあるポアソン構造のモジュライ空間の構造は何か？

主な発見

• 向きを保つポアソン同型写像に関して、コンパクトな向きつけ可能曲面上の一般性のあるポアソン構造を完全に分類する不変量の集合が構成された。
• 第二ポアソンコホロロジーは、それぞれちょうど一つの分類不変量を変えるような無限小変形によって生成される。
• 2次元球面の場合、このようなポアソン構造のモジュライ空間が不変量を用いて明示的に記述された。