[論文レビュー] A classification theorem for direct limits of extensions of circle algebras by purely infinite C*-algebras

Efren Ruiz|ArXiv.org|Aug 14, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数と呼ばれるクラスの単位的 C*-代数の分類定理を確立する。このクラスは、$M_k(C(S^1))$ の単位的本質的拡大を純粋に無限大な C*-代数が拡大する有限直和のコーナーの直極限として構成される。分類は不変量 $V_*$（射影、ヒルベルト空間の部分等長作用素、接続写像を含む）と総 $K$-理論を用いて達成され、このクラスにおいて $V_*$-同型と $K$-理論同型が $*$-同型を意味することを証明する。

ABSTRACT

We give a classification theorem for a class of C*-algebras which are direct limits of extensions of circle algebras by purely infinite C*-algebras. The invariant consists of the following: (1) the set of Murray-von Neumann equivalence classes of projections; (2) the set of homotopy classes of hyponormal partial isometries; (3) a map d; and (4) total K-theory.

研究の動機と目的

• 非単純かつ非 AF の C*-代数にエリオットの分類プログラムを拡張すること。
• 円周代数の純粋に無限大な C*-代数による拡大として構成される、新しいクラスの単位的分離可能アーベル C*-代数を分類すること。
• 不変量 $V_*$（射影、ヒルベルト空間の部分等長作用素、接続写像 $d$ を含む）と総 $K$-理論の組み合わせが、このクラスに対して完全不変量であることを示すこと。
• 既知のクラス（A$Τ$-代数やリンの代数）が、このクラスの特別な場合であることを確立すること。

提案手法

• 単位的本質的拡大 $M_k(C(S^1))$ を純粋に無限大な単純 C*-代数 $I \in \mathcal{P}$ が拡大する有限直和のコーナーの直極限として $τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数を定義する。
• 不変量 $V_*$ を以下のように導入する：(1) 射影の Murray–von Neumann 同値類 $V(A)$、(2) ヒルベルト空間の部分等長作用素のホモトピー同値類 $k_+(A)$、(3) 写像 $d: k_+(A) \to V(A)$、(4) 総 $K$-理論 $\widetilde{K}(A)$。
• $V_*$-同型が $K$-理論を保存する場合、近似的に内部自己同型から生じることを示す一意性定理を証明する。
• クラスに属する代数間の任意の $V_*$-同型が、近似的に相互作用する構成により $*$-同型に引き上げられることを示す存在定理を証明する。
• 摂動補題を用いて、図式を近似的に可換にするユニタリ共役を構成し、これにより同型を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数階数ゼロの代数に既に用いられていた不変量 $V_*$ を、純粋に無限大な C*-代数による円周代数の拡大から構成される代数に拡張して分類可能か？
• RQ2 $V_*$ と総 $K$-理論の組み合わせが、実数階数ゼロの単位的 $τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数に対して完全不変量か？
• RQ3 A$Τ$-代数および実数階数ゼロのリンの代数は、$τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数のクラスに含まれるか？
• RQ4 代数が単純でない場合、$V_*$ だけでは不十分で、$K$-理論を加える必要があるか、それとも $K$-理論を加えることで $V_*$ で十分か？

主な発見

• 実数階数ゼロの単位的 $τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数のクラスは、不変量 $V_*$ と総 $K$-理論によって分類可能である。
• 任意の実数階数ゼロの単位的 A$Τ$-代数は $τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数である。
• ブートストラップクラスに属し、$K_1$ が torsion-free であるすべての単位的分離可能アーベル純粋に無限大単純 C*-代数は $τ\mathcal{A}\mathcal{E}_{0}$-代数である。
• $V_*$ が総 $K$-理論と組み合わせられると、存在定理と一意性定理により分類に十分であることが示された。
• $K_1(I) = 0$ の場合、$K$-理論が自明であるため、$V_*$-同型条件のみで $*$-同型が成立する。
• ユニタリ共役を用いて図式を近似的に可換にする近似的な相互作用の議論により分類が達成された。