[論文レビュー] A Collection of Constraint Programming Models for the Three-Dimensional Stable Matching Problem with Cyclic Preferences

Chris Unsworth, Patrick Prosser|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2013

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、1つのインスタンスあたり1つの制約のみを用いて安定性と一夫多妻制の回避を保証する、効率的なn-ary制約SM2Nを導入する。この制約は、弧整合性に対して最適なO(n²)時間計算量を達成し、従来のブール符号化方式よりも速度と空間効率に優れており、大規模なインスタンス（n=2000まで）のスケーラブルな解決を可能にするとともに、性別均等安定結婚問題のようなより包括的な最適化問題への統合を可能にする。

ABSTRACT

We introduce five constraint models for the 3-dimensional stable matching problem with cyclic preferences and study their relative performances under diverse configurations. While several constraint models have been proposed for variants of the two-dimensional stable matching problem, we are the first to present constraint models for a higher number of dimensions. We show for all five models how to capture two different stability notions, namely weak and strong stability. Additionally, we translate some well-known fairness notions (i.e. sex-equal, minimum regret, egalitarian) into 3-dimensional matchings, and present how to capture them in each model. Our tests cover dozens of problem sizes and four different instance generation methods. We explore two levels of commitment in our models: one where we have an individual variable for each agent (individual commitment), and another one where the determination of a variable involves pairing the three agents at once (group commitment). Our experiments show that the suitability of the commitment depends on the type of stability we are dealing with. Our experiments not only led us to discover dependencies between the type of stability and the instance generation method, but also brought light to the role that learning and restarts can play in solving this kind of problems.

研究の動機と目的

• 既存のブール符号化方式よりもより効率的かつ実用的な制約符号化を、安定結婚問題に対して開発すること。
• 安定結婚制約をより大きな、より包括的な制約充足問題に組み込むこと。
• 性別均等安定結婚問題（SESMP）の最初の制約ベースの研究を支援すること。
• 従来の符号化方式と比べて、空間的・計算時間的効率を著しく向上させつつ、最適な時間計算量を達成すること。

提案手法

• n人の男性とn人の女性の間で安定性と非一夫多妻制を保証する専用のn-ary制約SM2Nを提案する。
• 制約伝播中に優先順位順位をO(1)でアクセス可能にするために、逆順の優先順位リスト（mPw, wPm）を用いる。
• 標準的な制約プログラミングプリミティブ（getMin, getMax, setMax, setVal, remVal）と、AC5またはAC3による弧整合性伝播を用いて制約を実装する。
• ドメインの変更が発生した場合にのみ制約伝播をトリガーするため、コールスタックメカニズムを活用して効率を確保する。
• 探索とより大きな問題への埋め込みを可能にするために、最小限のコード追加により、男性指向および女性指向のGale-Shapleyリストを両方維持する。
• 男性と女性の合計マッチスコアの絶対差を最小化することで、性別均等安定結婚問題（SESMP）を解くために制約を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのn-ary制約が、安定結婚問題において弧整合性に対して最適なO(n²)時間計算量を達成できるか？
• RQ2 SM2N制約は[3]におけるブール符号化方式と比較して、性能と空間効率で優れているか？
• RQ3 SM2N制約は、探索やより包括的な制約問題への埋め込みにおいて効果的に使用できるか？
• RQ4 SM2N制約は、大規模な安定結婚インスタンス（例：n=2000）を効率的に解けるか？
• RQ5 SM2N制約は、性別均等安定結婚問題（SESMP）を効果的にモデル化・解けるか？

主な発見

• SM2N制約は、弧整合性に対してO(n²)の時間計算量を達成し、[3]におけるブール符号化方式の理論的最適値と同等の性能を示すが、実用的性能は著しく優れている。
• n=2000の場合、SM2Nモデルは標準的な安定結婚問題のすべての解を平均20.19秒で解いたが、ブール符号化方式はn=300で失敗した。
• SM2NモデルはO(n)の変数とO(n²)の制約を必要としたのに対し、ブールモデルはO(n²)の変数とO(n²)の制約を必要としたため、SM2Nは空間的にはるかに効率的である。
• SM2N制約は、n=2000の性別均等安定結婚問題（SESMP）を平均22.44秒で解くことができ、複雑な最適化拡張の実現可能性を示した。
• n=1000において、SM2N制約はSM2モデルを15倍以上上回る性能を示し、時間的および空間的効率の優位性を確認した。
• この制約は、Choco、JSolver、Koalogなどの主要な制約プログラミングツールキットとネイティブに互換性があり、広範な適用可能性を有する。