[論文レビュー] A combinatorial solution for the current fluctuations in the exclusion process

Sylvain Prolhac|ArXiv.org|Apr 15, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、周期的境界条件をもつ部分的非対称排除過程（PASEP）における電流の大偏差関数の正確な組合せ的表現を、関数的ベーテアンザッツを用いて導出し、木構造を用いて表現する。この結果は、DerridaとLebowitzによるTASEP解を一般化し、既知のモーメントを再現し、可解モデルと組合せ論の間の新しい関係を確立する。

ABSTRACT

We conjecture an exact expression for the large deviation function of the stationary state current in the partially asymmetric exclusion process with periodic boundary conditions. This expression is checked for small systems using functional Bethe Ansatz. It generalizes a previous result by Derrida and Lebowitz for the totally asymmetric exclusion process, and gives the known values for the three first cumulants of the current in the partially asymmetric model. Our result is written in terms of tree structures and provides a new example of a link between integrable models and combinatorics.

研究の動機と目的

• 周期的境界条件をもつ部分的非対称排除過程（PASEP）における定常電流のモーメントの正確な表現を導出すること。
• DerridaとLebowitzによる全非対称排除過程（TASEP）の既知の正確な結果を部分的非対称性の状況に一般化すること。
• 可解な確率過程と木構造や合成ノードを含む組合せ的構造との間の関係を確立すること。
• 小規模系において関数的ベーテアンザッツを用いて予想された式を数値的に検証すること。
• 非対称性が $1/L$ のスケーリングで小さくなる弱い非対称性領域における電流ゆらぎの挙動を調べること。

提案手法

• 非対称性を導入したマコフ行列 $ M(eta) $ の最大固有値から電流モーメントの母関数 $ E(eta) $ を導出する。この行列は、ねじれ境界条件をもつXXZスピンチェーンに関連している。
• 関数的ベーテアンザッツを用い、多項式 $ Q(t) $ と $ R(t) $ を含む関数方程式（式4）を解き、支配的固有状態の制約条件（5）と（6）を満たす。
• モーメント母関数 $ E(eta) $ を、ノードに重み $ W[\text{tree}] $ を割り当てた根付き木構造および非根付き木構造の重み付き和として表現する。この重みは、ノードインデックスの離散的総和によって定義される。
• 基本ノードの奇数個の集合からなる合成ノードを導入し、内部に木構造を持つ $ \tilde{\text{C}} $ と持たない $ \text{C} $ の2種類のクラスを定義し、これらを $ \tilde{\text{G}} $ および $ \text{G} $ の木構造のノードとして用いる。
• 大系サイズ極限においてスターリングの近似を適用し、離散的総和を積分に置き換えることで、漸近的解析のためのスケーリング形（式38）を導出する。
• 小規模系において、$ \beta = 0 $ の近傍で関数的ベーテ方程式を摂動的に解き、既知の最初の3つのモーメントの結果を回復することで、予想の数値的妥当性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限系における部分的非対称性をもつPASEPの電流の全モーメント母関数について、正確な表現を得ることは可能か？
• RQ2 関数的ベーテアンザッツは、組合せ的木構造を用いてそのような表現をどのように構成可能にするか？
• RQ3 予想された式は、全非対称性の極限でDerridaとLebowitzの知られたTASEP結果に還元されるか？
• RQ4 非対称性が $1/L$ のスケーリングで $1 - x \to 0$ となる弱い非対称性領域における電流ゆらぎの挙動はどのように記述され、ベルヌーイ数を用いて表現可能か？
• RQ5 解に木構造が現れる現象は、オープン系や多種粒子ASEPなどの他のASEP変種へ一般化可能か？

主な発見

• 予想されたモーメント母関数 $ E(\beta) $ の式（式36）は、DerridaとLebowitzによるTASEPの正確な結果を部分的非対称性の状況に一般化する。
• この式は、ProlhacとMallickによって導出されたPASEPにおける最初の3つのモーメントの既知の有限サイズ結果を再現する。
• 母関数は、$ \tilde{\text{C}} $ のノードを用いた根付き木構造の重み付き和として表現され、可解性と組合せ論の間の直接的な関係を確立する。
• 系サイズが大きく、$ 1 - x \to 0 $ が $ \text{const} \times \frac{1}{\rho(1-\rho)L} $ のスケーリングで成り立つ極限において、モーメントの主要項は式（38）で与えられ、木構造の積分を含む。
• 関数的ベーテアンザッツの解は、小規模系において予想を確認し、$ E(\beta) $ の摂動展開を $ \beta^4 $ まで正当化する。
• この結果は、木構造がPASEPを越えて電流ゆらぎにおいて本質的な役割を果たす可能性を示唆し、オープンASEP、多種粒子ASEP、無限直線ASEPへも拡張可能である可能性を示唆する。