[論文レビュー] A comment on Intersecting Families of Permutations

Yuval Filmus|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Ellis, Friedgut, and Pilpel (2011) における置換の $t$-交差族の極値族の特徴付けの証明における重大な欠陥を特定する。特に、最大サイズ $(n-t)!$ を達成するのは $t$-coset のみであるという主張の根拠が誤りである。主な結果である「このような族は $(n-t)!$ で上限を持ち、等号成立は $t$-coset のみである」という結論自体は正当であるが、元の証明における一意性の議論は誤りである。本論文は、その証明に使われた主要な補題に対する反例を提示し、Ellis (2011) の別証明により主結果の正しさを確認する。

ABSTRACT

Ellis, Friedgut and Pilpel proved that for large enough $n$, a $t$-intersecting family of permutations contains at most $(n-t)!$ permutations. Their main theorem also states that equality holds only for $t$-cosets. We show that their proof of the characterization of extremal families is wrong. However, the characterization follows from a paper of Ellis, as mentioned already by Ellis, Friedgut and Pilpel.

研究の動機と目的

• Ellis, Friedgut, and Pilpel (2011) における置換の極値 $t$-交差族の一意性の証明における欠陥を特定・是正すること。
• 主結果が、特徴付けの証明に欠陥があるにもかかわらず、依然として正当であることを示すこと。すなわち、$t$-交差族は $(n-t)!$ で上限を持ち、等号成立は $t$-coset のみである。
• EFP11 の定理27および定理29に対する明示的な反例を提示すること。これらは一意性の議論の中心的役割を果たしていた。
• EFP11 で指摘されているように、正しくは Ellis (2011) からの別証明によって特徴付けが導かれるべきであり、その結果同士の論理的依存関係を明確にすること。

提案手法

• $f(\pi) = \llbracket \pi(\{1,2,3\}) = \{1,2,3\} \text{ または } \pi(\{1,2,3\}) \cap \{1,2,3\} = \emptyset \rrbracket$ というブール関数を構成し、$V_2$ 属であるが、そのサポートに $2$-coset を含まないことを示し、EFP11 の定理27に反する。
• 包含除法を用いて $k+1$ 個の点に対して一般化し、任意の偶数 $k \geq 2$ に対して $f \in V_k$ だが $f$ のサポートに $k$-coset を含まない関数を構成する。
• EFP11 の定理29 に誤りを特定。これは双確度行列に関するBirkhoffの定理の一般化を主張していたが、条件 (S1) を満たすが (S2) を満たさない反例行列を構成することで、その主張の誤りを示す。
• Ellis (2011) が独立して正しく主結果を確立しており、極値族に対して $1_I \in V_k$ ならば $I$ は $k$-coset であることを示していることから、一意性の主張が別ルートで正当化されることを確認する。
• スライス $J(n,k)$ 上のブール関数と $S_n$ への拡張の関係を分析し、特定の次数2関数に対しては定理27Jが成り立たないが、その否定関数に対しては成り立つことを示す。
• 定理27J の修正版を提案。$J(n,k)$ 上のブール関数に対しては、$f$ または $1-f$ が次数 $r_d$ の単項式の非負線形結合として書けることを示し、$r_d$ が次数と多項式関係にあることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ellis, Friedgut, and Pilpel (2011) における置換の極値 $t$-交差族が $t$-coset のみであるという特徴付けは、正しく証明されているか？
• RQ2 $f(\pi) = \llbracket \pi(\{1,2,3\}) = \{1,2,3\} \text{ または } \pi(\{1,2,3\}) \cap \{1,2,3\} = \emptyset \rrbracket$ は $V_2$ に属するが、$2$-coset の disjoint 和ではない。これは EFP11 の定理27 に反するか？
• RQ3 EFP11 の定理29 の条件を満たすが、置換行列の凸結合ではない双確度行列を構成できるか。これにより定理29 が無効であることを示せるか？
• RQ4 EFP11 の誤った議論とは独立して、$t$-coset が極値 $t$-交差族として一意に特徴付けられる正しい別証明は存在するか？
• RQ5 次数 $d$ の $J(n,k)$ 上のブール関数に対して、$f$ が次数 $d$ の単項式の非負結合として書けるという定理27J は、修正または一般化可能か？

主な発見

• Ellis, Friedgut, and Pilpel (2011) における証明では、$t > 1$ の場合、$t$-coset のみが極値 $t$-交差族であるという主張が誤りである。特に、定理27 および定理29 に誤りがある。
• 反例として、$f \in V_2$ だがそのサポートに $2$-coset を含まないブール関数を構成し、EFP11 の定理27 を反証した。
• この反例は任意の偶数 $k \geq 2$ に一般化可能であり、$V_k$ に属する関数が $k$-coset の disjoint 和であるとは限らないことを示している。
• 定理29 に対する反例を提示：条件 (S1) を満たすが (S2) を満たさない行列を構成し、Birkhoff の定理の一般化が誤りであることを示した。
• 元の証明に欠陥があるにもかかわらず、主結果である「$t$-交差族のサイズは $(n-t)!$ 以下であり、等号成立は $t$-coset のみである」という結論は、Ellis (2011) の結果により依然として正当である。
• スライス $J(n,k)$ 上の特定の次数2関数に対して定理27J が成り立たないことは、修正版の分解定理が $f$ や $1-f$ に制約条件（例えば明確な証明複雑度）を課す必要があることを示唆している。