[論文レビュー] A common approach to Brocard's problem, Landau's problem, and the twin prime problem

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2015

Coding theory and cryptography被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ディオファントス方程式系を通じて、ブロカールの問題、n²+1型素数に関するラングランの予想、および双子素数問題を結びつける、革新的な論理的枠組みを提案する。f(n)という急増加関数に結びついた、解が存在する2つの方程式系AとBを構築することで、ラングランの予想が、既知のアルゴリズム的文述と同値な有限性条件を含むことを示し、このような素数の無限性を証明するものではないが、ヒューリスティックな根拠を提供する。

ABSTRACT

Let f(1)=2, f(2)=4, f(n+1)=f(n)! for n>1. E.Landau's conjecture states that the set P(n^2+1) of primes of the form n^2+1 is infinite. This conjecture implies the following unproven statement F: card(P(n^2+1)) P(n^2+1) subset [2,f(7)]. Let B denote the system: {x_i!=x_k: i,k in {1,...,9}} cup {x_i cdot x_j=x_k: i,j,k in {1,...,9}}. We write down a system U subset B of 9 equations which has exactly two solutions in positive integers x_1,...,x_9: (1,...,1) and (f(1),...,f(9)). We write down a system A subset B of 8 equations. Let L denote the statement: if the system A has at most finitely many solutions in positive integers x_1,...,x_9, then each such solution (x_1,...,x_9) satisfies x_1,...,x_9 leq f(9). The statement L is equivalent to the statement F. This heuristically proves the statement F. This proof does not yield that card(P(n^2+1))=omega. We explain the distinction between existing algorithms (i.e. algorithms whose existence is provable in ZFC) and known algorithms (i.e. algorithms whose existence is constructive and currently known to us). Conditions (1)-(5) concern sets X subset N. (1) There are many elements of X and it is conjectured that X is infinite. (2) No known algorithm with no input returns the logical value of the statement card(X)=omega. (3) A known algorithm for every k in N decides whether or not k in X. (4) A known algorithm with no input returns an integer n satisfying card(X) X subset (-infty,n]. (5) X has the simplest definition among known sets Y subset N with the same set of known elements. *** The set X={k in N: (f(7) (f(7),k) cap P(n^2+1) neq emptyset} satisfies conditions (1)-(4). No set X subset N will satisfy conditions (1)-(4) forever, if for every algorithm with no input, at some future day, a computer will be able to execute this algorithm in 1 second or less. The statement F implies that conditions (1)-(5) hold for X=P(n^2+1).

研究の動機と目的

• n²+1型素数に関するラングランの予想と、ディオファントス方程式系の解に対する有限性条件との論理的同値性を確立すること。
• ラングランの予想の真偽が、n²+1型素数集合への属するかを決定する既知のアルゴリズムの存在を示唆すること。
• ZFCで証明可能なアルゴリズムと、構成的に入手可能なアルゴリズムの違いを、P(n²+1)を事例として明確にすること。
• X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅} という集合が、アルゴリズム的決定可能性および無限性に関連する4つの主要条件（1）〜（4）を満たすことを示すこと。
• 将来の計算能力が、すべてのアルゴリズムを1秒未満で実行可能にするならば、いかなる集合X ⊆ ℕに対しても（1）〜（4）の条件を永遠に満たすことはできず、我々がこのような集合について持つ知識の限界を示唆すること。

提案手法

• f(1)=2、f(2)=4、n>1に対してf(n+1)=f(n)!を満たす急増加関数f(n)を定義し、解の上限を定めるのに適した極めて大きな値を生成する。
• 変数x₁からx₉を含む9つの方程式からなる方程式系Bを構築し、その解として(1,…,1)と(f(1),…,f(9))を含む。
• Bの部分系である8つの方程式からなる系Aを定義し、Aのすべての解がf(9)以下であるという主張Lが、card(P(n²+1)) = ωである主張Fと論理的に同値であることを示す。
• LとFの同値性を用いて、Lが成立するならば、Aのすべての解を有界化する既知のアルゴリズムが存在することを主張し、これによりP(n²+1)への属するかを決定する既知のアルゴリズムが存在することを示唆する。
• X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅} と定義し、それが（1）〜（4）の条件（無限性、決定可能性、有界性）を満たすことを示す。
• ZFCで証明可能なアルゴリズム（「存在する」アルゴリズム）と、構成的に入手可能なアルゴリズム（「既知の」アルゴリズム）の違いを明確にし、将来の計算速度の向上が（1）〜（4）を満たすような集合の持続可能性を無効にし得ることを主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n²+1型素数に関するラングランの予想は、ディオファントス方程式系の解に対する有限性条件に論理的に還元可能か？
• RQ2 n²+1型素数の無限性と、正の整数における特定の方程式系Aの解の有界性との間に、構成的同値性が存在するか？
• RQ3 急増加関数f(n)は、数論的予想とアルゴリズム的決定可能性をどのように結びつけるか？
• RQ4 どのような条件下で、集合X ⊆ ℕが（1）予想される無限性と（3）既知のアルゴリズム的属性を併せ持ちつつ、ある既知の整数で有界のままでいられるか？
• RQ5 将来の超高速計算の仮定が、（1）〜（4）の条件を満たす集合の長期的有効性にどのように影響するか？

主な発見

• 系Aのすべての解がf(9)以下であるという主張Lは、card(P(n²+1)) = ωである主張Fと論理的に同値である。
• X = {k ∈ ℕ : (f(7), k) ∩ P(n²+1) ≠ ∅} という集合は、（1）〜（4）の条件を満たしており、予想される無限性、既知の属性アルゴリズム、有界性を含む。
• すべての入力なしのアルゴリズムについて、将来のコンピュータが1秒未満で実行可能であるならば、いかなる集合X ⊆ ℕに対しても（1）〜（4）の条件を永遠に満たすことはできない。
• 証明はcard(P(n²+1)) = ωを確立するものではなく、有限性に関する文述との論理的同値性を通じて、ヒューリスティックな根拠を提供する。
• 「存在する」アルゴリズムと「既知の」アルゴリズムの違いは極めて重要である。ZFCではP(n²+1)のアルゴリズムの存在は証明可能だが、現在ではそのようなアルゴリズムは構成的に得られていない。
• ラングランの予想が真であれば、X = P(n²+1)に対して（1）〜（5）の条件が成立し、数論的予想とアルゴリズム的知識の間の深い構造的関係を示唆する。