[論文レビュー] A Complete Axiomatisation of the ZX-Calculus for Clifford+T Quantum Mechanics

Emmanuel Jeandel, Simon Perdrix+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 37被引用数 109

ひとこと要約

論文は π/4-fragment の ZX-Calculus が Clifford+T 量子力学に対して完全であることを、ZX を ZW1/2-calculus に関連付け、2 つの新しい公理を提供することにより示し、さらに ZXπ/4 の表現力を dyadic-extended field 上の行列として特徴づける。

ABSTRACT

We introduce the first complete and approximatively universal diagrammatic language for quantum mechanics. We make the ZX-Calculus, a diagrammatic language introduced by Coecke and Duncan, complete for the so-called Clifford+T quantum mechanics by adding four new axioms to the language. The completeness of the ZX-Calculus for Clifford+T quantum mechanics was one of the main open questions in categorical quantum mechanics. We prove the completeness of the Clifford+T fragment of the ZX-Calculus using the recently studied ZW-Calculus, a calculus dealing with integer matrices. We also prove that the Clifford+T fragment of the ZX-Calculus represents exactly all the matrices over some finite dimensional extension of the ring of dyadic rationals.

研究の動機と目的

• 動機: Clifford+T 量子力学の完全でほぼ普遍的な図式言語を得ること。
• 目標: π/4 フラグメントの完全性を達成するために ZX-Calculus に2つの公理を拡張する。
• アプローチ: 完全な ZW1/2-calculus を活用し、ZXと ZW1/2 の双方向翻訳を行う。
• 成果: ZXπ/4 の完全性を導出し、 ZXπ/4 図式の正確な表現力を特徴づける。

提案手法

• π/4 フラグメントのための新しい ZX-Calculus 公理 (C) と (BW) を導入する。
• dyadic 有理行列を表現するよう ZW-Calculus を ZW1/2 に定義・拡張する。
• ZXπ/4 と ZW1/2 の間の二つの解釈を提供し、その正しさを証明する。
• ZW1/2 の完全性から双方向翻訳を介して ZXπ/4 の完全性が従うことを示す。
• ZXπ/4 が正確に D[eiπ/4] の環上の行列を表すことを証明する。
• dyadic 有理数と根付き単位の観点から ZXπ/4 の表現力を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π/4-fragment の ZX-Calculus を Clifford+T 量子力学のために完全にすることは可能か。
• RQ2 ZX をより単純な数値的基盤を持つ計算系（ZW1/2）と結びつけて完全性を確立するにはどうすればよいか。
• RQ3 ZXπ/4 で表現可能な正確な行列は何か。
• RQ4 完全性を達成するうえで新しい公理 (C) と (BW) の役割と必要性は何か。
• RQ5 ZXπ/4 と ZW1/2 の翻訳は意味論と証明可能性をどのように保持するか。

主な発見

• ZX-Calculus の π/4-fragment は Clifford+T 量子力学に対して完全である。
• dyadic rational のための ZW1/2 計算系は完全であり、 ZXπ/4 の完全性を証明する橋渡しとして用いられる。
• ZXπ/4 と ZW1/2 の双方向解釈は意味論と証明可能性を保持する。
• ZXπ/4 図は正確に D[eiπ/4] の環上の行列を表す。
• 各 ZW1/2 公理が ZX-方程式へと充足する completion 手続きが存在し、2 つの新しい ZX 公理で完全性を満たす。