[論文レビュー] A Complete Characterization of Pretty Good State Transfer on Paths

Christopher M. van Bommel|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、XYハミルトニアンフレームワークにおけるパスとしてモデル化された量子スピン鎖における、かなり良い状態遷移（PGST）の完全な特徴付けを提供する。PGSTが頂点 $a$ と $b$ 間で発生するのは、$a + b = n+1$ であり、かつ $n = 2^t - 1$ または $n = 2^t p - 1$（$p$ は奇素数）である場合に限られ、パスにおける内部頂点間のPGSTに関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We give a complete characterization of pretty good state transfer on paths between any pair of vertices with respect to the quantum walk model determined by the XY-Hamiltonian. If $n$ is the length of the path, and the vertices are indexed by the positive integers from 1 to $n$, with adjacent vertices having consecutive indices, then the necessary and sufficient conditions for pretty good state transfer between vertices $a$ and $b$ are that (a) $a + b = n + 1$, (b) $n + 1$ has at most one odd non-trivial divisor, and (c) if $n = 2^t r - 1$, for $r$ odd and $r eq 1$, then $a$ is a multiple of $2^{t - 1}$.

研究の動機と目的

• パスとしてモデル化された量子スピン鎖における内部頂点間のPGSTを特徴付ける未解決問題を解決すること。
• XYハミルトニアンモデル下で、パス $P_n$ の任意の頂点ペア間におけるPGSTの必要十分条件を特定すること。
• 端頂点間のPGSTに関する先行結果を一般の頂点ペアに拡張し、特に非端頂点間でPGSTが発生する条件を特定すること。
• 内部頂点間（ただし端頂点ではない）でPGSTを示す唯一のパス族は、$n = 2^t p - 1$ かつ $a$ が $2^{t-1}$ の倍数である場合に限られることを証明すること。

提案手法

• パスグラフの隣接行列の固有値分解を用いて、遷移振幅 $|\braket{a|e^{itA}|b}|^2$ を分析するため、スペクトルグラフ理論を用いる。
• 単位円上での密度的性質を用いて、固有値と固有ベクトルがPGSTを支持する条件を、$n+1$ に関する数論的条件として特定する。
• 特に $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ を用いた三角関数の和の恒等式を用いて、遷移振幅の周期性とキャンセルを分析する。
• 必要性の証明において、$n+1 = km$ かつ $m$ が奇数のとき、特定のコサイン和が消えることを示すために補題5を用いる。これにより背理法による議論が可能になる。
• 補題3を用いて、特定の固有値の和が消える場合、PGSTは発生しないことを示し、$n+1$ が複数の奇素因数を持つ場合のケースを除外する。
• 頂点 $a$ と $b$ の対称性（$a + b = n+1$）と、$a$ および $n$ に関する数論的制約を組み合わせることで、必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス $P_n$ の任意の二頂点 $a$ と $b$ 間で、かなり良い状態遷移が発生する条件は何か？
• RQ2 パスの内部頂点（端点でない）間でPGSTが発生可能か？ もし可能であれば、構造的および数論的条件下ではどのような条件か？
• RQ3 $n = 2^t p - 1$ かつ $a$ が $2^{t-1}$ の倍数である族は、内部頂点間でPGSTを示すが、端点間では示さない唯一のパス族であるか？
• RQ4 対称性条件 $a + b = n + 1$ は、パス上でのPGSTを可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 なぜ $n+1$ が非自明な奇素因数を一つまでしか持たないことが、PGSTのための必要条件となるのか？

主な発見

• パス $P_n$ の頂点 $a$ と $b$ 間で、かなり良い状態遷移が発生するのは、$a + b = n + 1$ のときのみである。
• $n = 2^t - 1$ のとき、対称頂点 $a$ と $n+1-a$ 間でPGSTが発生し、これは端点を含む任意のペアに適用可能である。
• $n = 2^t p - 1$（$p$ は奇素数）のとき、対称頂点 $a$ と $n+1-a$ 間でPGSTが発生するのは、$a$ が $2^{t-1}$ の倍数であるときのみである。
• $n+1$ が二つ以上の奇素因数を持つ場合、任意の頂点ペア（対称ペアですらも）でPGSTは発生しない。
• $n = 2^t p - 1$ のとき、$a$ が $2^{t-1}$ の倍数であることは必須である。そうでなければ、固有値のキャンセルによりPGSTは失敗する。
• 特徴付けは完全である：非端点間でPGSTを示す他のパス族は存在せず、端点間でのみPGSTが発生するのは、$n = 2^t - 1$、$n = p-1$、または $n = 2p - 1$（$p$ が素数）のときのみである。