[論文レビュー] A Complete Method for Checking Hurwitz Stability of a Polytope of Matrices

Junwei Shao, Xiaorong Hou|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2010

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、標準単体上での2つの同次多項式——特に2番目に小さいHurwitz行列式と定数項——の正定性を確認することで、行列の多面体のHurwitz安定性をチェックする完全で有限ステップの手法を提示する。重み付き差分代入（WDS）法を用いることで、正しさが保証され、指数的多項式時間の計算量を得る。n=2,3,4およびm=2,3,4の900個の行列多面体に対する実験的検証により、小次元数においては効率的な性能を示した。

ABSTRACT

We present a novel method for checking the Hurwitz stability of a polytope of matrices. First we prove that the polytope matrix is stable if and only if two homogenous polynomials are positive on a simplex, then through a newly proposed method, i.e., the weighted difference substitution method, the latter can be checked in finite steps. Examples show the efficiency of our method.

研究の動機と目的

• 行列多面体のロバストHurwitz安定性を検証する完全かつ有限のアルゴリズムの開発を目的とする。
• 特に高次元においては、辺や頂点の安定性だけでは多面体全体の安定性を保証できないという課題に対処すること。
• Hurwitz行列式から導かれる特定の同次多項式の正定性に基づく、理論的に妥当で計算的に実行可能な手法を提供すること。
• 従来の十分条件に限界があるのを克服し、安定性の必要十分条件を提供すること。

提案手法

• 本手法は、行列多面体のHurwitz安定性を、単体Sₘ上の凸結合パラメータq₁,…,qₘの関数として表される2つの同次多項式——2番目に小さいHurwitz行列式Δₙ₋₁と定数項a₀——の正定性の確認に還元する。
• 多面体がHurwitz安定であるための必要十分条件として、すべての(q₁,…,qₘ) ∈ Sₘに対してΔₙ₋₁ > 0かつa₀ > 0が成り立つことを証明する。
• 重み付き差分代入（WDS）法を用いて、これらの同次形式の正定性を有限ステップで体系的に検証する。
• WDS法は、変数を重み付き差分に逐次置き換えることで、元の形式が単体上で正である場合かつその場合に限り、正の係数を持つ形式に変換する。
• WDSステップ数の理論的上限が導出され、計算量はO(m^{m+1} n^{2m²} (n^{2m} ln M + n^{2(m+1)} ln m + (m² + m n^{2m}) ln n))として表され、指数的多項式時間の上界を与える。
• 本手法はMapleで実装され、n=2,3,4およびm=2,3,4の900個のランダムに生成された行列多面体に対して検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分条件に依存するのではなく、完全かつ有限のアルゴリズムを用いて行列多面体のHurwitz安定性を検証することは可能か？
• RQ2 行列多面体の安定性検証を、単体上での特定の同次多項式の正定性の確認に還元することは可能か？
• RQ3 このような形式の正定性の検証の計算量は何か？実装に適した有効な上限が得られるか？
• RQ4 提案手法は、既存の十分条件やヒューリスティック手法と比較して、効率性と正確性に優れているか？

主な発見

• 行列多面体がHurwitz安定であるための必要十分条件は、単体Sₘ全体で2番目に小さいHurwitz行列式Δₙ₋₁と定数項a₀が厳密に正であることである。
• 重み付き差分代入（WDS）法により、同次多項式の正定性を完全かつ有限ステップで検証できる手続きが得られ、完全な安定性検査が可能になる。
• n=2,3,4およびm=2,3,4の900件のテストケースにおいて、合計計算時間は0.09秒（n=2,m=2）から2537秒（n=4,m=4）の範囲で、nとmが増加するに従い中央値も増加した。
• 本手法は指数的多項式時間の計算量を示すが、実際には理論的上界よりもはるかに少ないWDSステップ数で実行される。
• 一部の小さなnとm（例：(n,m)=(2,4)）では1000秒以上を要するケースもあり、計算量はサイズだけでなく多項式の構造にも依存することが示された。
• 高次元の面や頂点のみの安定性チェックに依存する従来手法に比べ、本手法は優れており、これらはロバスト安定性を保証しない。