[論文レビュー] A comprehensive class of harmonic functions defined by convolution and its connection with integral transforms and hypergeometric functions

Sumit Nagpal, V. Ravichandran|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特定のカーネル関数との調和畳み込みを用いて定義される包括的な調和関数のクラスを導入し、係数不等式、成長および被覆定理、閉包性を確立している。このクラスは積分変換および超幾何関数と関連づけられ、所属の必要十分条件が導出され、星型および凸調和写像の部分クラスにおける鋭い包含関係および単値性半径が証明されている。

ABSTRACT

For given two harmonic functions $Φ$ and $Ψ$ with real coefficients in the open unit disk $\mathbb{D}$, we study a class of harmonic functions $f(z)=z-\sum_{n=2}^{\infty}A_nz^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}B_n\bar{z}^n$ $(A_n, B_n \geq 0)$ satisfying \[\RE \frac{(f*Φ)(z)}{(f*Ψ)(z)}>α\quad (0\leq α<1, z \in \mathbb{D});\] * being the harmonic convolution. Coefficient inequalities, growth and covering theorems, as well as closure theorems are determined. The results obtained extend several known results as special cases. In addition, we study the class of harmonic functions $f$ that satisfy $\RE f(z)/z>α$ $(0\leq α<1, z \in \mathbb{D})$. As an application, their connection with certain integral transforms and hypergeometric functions is established.

研究の動機と目的

• パラメータ化されたカーネル関数との調和畳み込みを用いて、方向を保つ調和単値関数の新しいクラスを定義し、その性質を調査すること。
• 導入されたクラスに対して、係数不等式、成長および被覆定理、閉包性を確立すること。
• このクラスと積分変換および超幾何関数との関係を調査すること。
• 星型および凸調和写像の部分クラス、特に完全に星型および完全に凸関数を含む、部分クラス間の鋭い包含関係を特定すること。
• 原点における解析的導関数が消える関数のクラスについて、単値性、星型性、凸性の正確な半径を計算すること。

提案手法

• 調和関数 $f$ と二つの調和カーネル関数 $\Phi_i$ および $\Psi_j$ の調和畳み込みを用いてクラス $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ を定義する。ここで $p_n > u_n \geq 0$ および $q_n > v_n \geq 0$ を満たすものとする。
• 領域 $\mathbb{D}$ 内の $z$ に対して $\operatorname{Re}\left(\frac{(f*\Phi_i)(z)}{(f*\Psi_j)(z)}\right) > \alpha$ かつ $0 \leq \alpha < 1$ を満たす条件を用いて、このクラスを特徴付ける。
• 係数ごとの解析と主要化技術を用いて、$\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ に属するための必要十分条件を導出する。
• カーネル関数 $\Phi_i$ および $\Psi_j$ を $F(a,b,c;z)$ の形で表現し、ガウスの級数和定理を適用することで、超幾何関数との関係を確立する。
• 既知の調和単値写像に関する結果（例：Marx–Strohhäckerの定理、[11, 12, 18] よりの係数バウンド）を用いて、包含関係および半径に関する結果を導出する。
• 極値関数（例：$f(z) = z + \frac{1}{4}\bar{z}^2$）を用いて、包含関係および半径バウンドの鋭さを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和畳み込みによって定義されるクラス $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ に属するための調和関数の必要十分係数条件は何か？
• RQ2 完全に星型および完全に凸調和写像のクラス（順序 $\alpha$）は、導入されたクラスの特別な場合としてどのように現れるか？
• RQ3 クラス $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ と積分変換または超幾何関数との関係は何か？
• RQ4 部分クラス $\mathcal{TK}_H^0(\alpha)$、$\mathcal{TS}_H^{*0}(\alpha)$、$\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ 間の鋭い包含関係は何か？
• RQ5 $\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ に属する関数の単値性、星型性、凸性の正確な半径は何か？

主な発見

• クラス $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ は、適切な $\Phi_i$ および $\Psi_j$ の選択により、既知の部分クラス $\mathcal{TS}_H^*(\alpha)$ および $\mathcal{TK}_H(\alpha)$ を特別な場合として含む。
• 包含関係 $\mathcal{TK}_H^0(\alpha) \subset \mathcal{TU}_H^0\left(\frac{3 - \alpha}{2(2 - \alpha)}\right)$ が成り立ち、これは鋭いものであり、極値関数 $f(z) = z + \frac{1}{4}\bar{z}^2$ によって示される。
• 包含関係 $\mathcal{TS}_H^{*0}(\alpha) \subset \mathcal{TU}_H^0\left(\frac{1}{2 - \alpha}\right)$ は鋭く、極値関数 $f(z) = z - \frac{1 - \alpha}{2 - \alpha}z^2$ によって示される。
• $\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ の単値性および星型性の半径は $\frac{1}{2(1 - \alpha)}$、凸性の半径は $\frac{1}{4(1 - \alpha)}$ であり、両者とも鋭い。
• クラス $\mathcal{TH}(\Phi_i, \Psi_j; \alpha)$ は特定の積分変換に関して不変であり、メンバーの所属は超幾何関数表現によって特徴づけられる。
• 関数 $f(z) = z + \frac{1 - \alpha}{4}\bar{z}^2$ は、$\mathcal{TU}_H^0(\alpha)$ の凸性半径 $\frac{1}{4(1 - \alpha)}$ の鋭さを示している。