[논문 리뷰] A compressed classical description of quantum states

David Gosset, John A. Smolin|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 스태빌라이저 상태와의 내적을 저장하여 n 큐비트 양자 상태를 오직 O(√(2ⁿ))의 고전적 비트로 표현하는 고전적 압축 기법을 제안한다. 이 방법은 고도로 높은 확률로 임의의 관측 가능량의 기댓값을 효율적으로 근사할 수 있으며, 전체 상태 기술에 비해 지수적 메모리 절감을 이룰 수 있다. 계산 시간은 O(2ⁿ poly(n)) 내에 이루어진다.

ABSTRACT

We show how to approximately represent a quantum state using the square root of the usual amount of classical memory. The classical representation of an $n$-qubit state $ψ$ consists of its inner products with $O(\sqrt{2^n})$ stabilizer states. A quantum state initially specified by its $2^n$ entries in the computational basis can be compressed to this form in time $O(2^n \mathrm{poly}(n))$, and, subsequently, the compressed description can be used to additively approximate the expectation value of an arbitrary observable. Our compression scheme directly gives a new protocol for the vector in subspace problem with randomized one-way communication complexity that matches (up to polylogarithmic factors) the optimal upper bound, due to Raz. We obtain an exponential improvement over Raz's protocol in terms of computational efficiency.

연구 동기 및 목표

• 전체 상태 기술에 필요한 2ⁿ 개의 진폭보다 훨씬 작아진 고전적 양자 상태 표현을 개발하기 위해.
• 사전에 관측 가능량의 집합을 고정하지 않고도 임의의 관측 가능량에 대한 근사 기댓값을 효율적으로 계산할 수 있도록 하기 위해.
• O(2ⁿ poly(n)) 시간 내에 실행되는 압축 기법을 확보하여 대규모 양자 시스템에 대해 계산적으로 실용적이게 하기 위해.
• 벡터 부분공간 문제에 대해 Raz의 통신 복잡도 하한선(다항로그 인자까지)을 충족하면서도 계산 효율성을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 압축 알고리즘은 목표 양자 상태 |ψ⟩와 O(√(2ⁿ))개의 랜덤으로 선택된 스태빌라이저 상태 사이의 내적을 계산한다.
• 고전적 기술은 이러한 내적들로 구성되며, 크기가 O(√(2ⁿ)) 비트인 압축 표현 D(ψ, ε, p)를 형성한다.
• 기댓값은 랜덤 스태빌라이저 스케치를 사용하여 추정한다: 각 스케치에 대해 상태와의 오버랩을 계산하고 이를 ⟨ψ|M|ψ⟩의 추정치로 사용한다.
• 최종 추정치는 다수의 독립된 추정치의 중앙값을 취하여 찌그러짐 확률을 감소시킨다. 이는 체르노프 불등식을 활용한다.
• 추정기의 분산 한계는 클리포드 군이 2-디자인임을 이용하고 슈어의 보조정리로 유도되며, 측도 집중을 보장한다.
• 메모리 절감과 통계적 보장을 보장하기 위해 하어 랜덤니스와 유니터리 2-디자인 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 관측 가능량의 기댓값을 근사할 수 있는 능력을 유지하면서도, O(√(2ⁿ))의 고전적 비트로 양자 상태를 압축할 수 있는가?
• RQ2 이러한 압축 표현을 O(2ⁿ poly(n)) 시간 내에 계산할 수 있는가? 이를 통해 대규모 시뮬레이션에 실용적이게 되는가?
• RQ3 벡터 부분공간 문제에 대해 라즈의 최적 프로토콜과 유사한 통신 복잡도를 달성하면서도 더 높은 계산 효율성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 하나의 지수적 수보다 작은 수의 스태빌라이저 상태만으로도 추정 오차를 높은 확률로 유계화할 수 있는가?

주요 결과

• 압축 표현은 O(√(2ⁿ))의 고전적 비트를 사용하여 전체 2ⁿ 진폭 기술 대비 지수적 메모리 절감을 달성한다.
• 압축 알고리즘은 O(2ⁿ poly(n)) 시간 내에 실행되어 대규모 양자 회로의 실용적 시뮬레이션에 가능하게 한다.
• 오직 O(√(2ⁿ))의 고전적 메모리로도 오차 ≤ ε, 실패 확률 ≤ p 범위 내에서 임의의 관측 가능량의 기댓값을 덧셈 근사할 수 있다.
• n = 50 큐비트일 경우 k = 35를 선택하면 오차 ε ≈ 0.0039이며, 메모리 절감 요소는 2¹⁴ = 16,384이다.
• 클리포드 군의 2-디자인 성질을 이용해 추정기의 분산을 유계화하였으며, 다수의 추정치 중 중앙값을 취함으로써 실패 확률을 p로 감소시켰다. 이는 체르노프 불등식에 기반한다.
• 이 방법은 라즈의 단방향 통신 복잡도 하한선(다항로그 인자까지)을 충족하며, 벡터 부분공간 문제에 대한 계산적으로 효율적인 프로토콜을 제공한다.