[論文レビュー] A computational note about Fricke-Macbeath's curve

Rubeén A. Hidalgo|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ガロア降下と不変量理論を用いて、ℚ(√−7) 上のフリッケ＝マクビース曲線の明示的代数的モデルを構成する計算的手法を提示する。この手法により、ℚ(ρ) 上に定義されたマクビーの元のモデル X から、ℚ 上に定義された曲線 W への有理同型写像が得られ、実二次体上でのこの種数 7 のハルツィット曲線の最初の明示的モデルが得られる。すべての構成は、コンピュータ代数システムで実装可能である。

ABSTRACT

The well known Hurwitz upper bound states that a closed Riemann surface $S$ of genus $g \geq 2$ has at most $84(g-1)$ conformal automorphisms. If $S$ has exactly $84(g-1)$ conformal automorphisms, then it is called a Hurwitz curve. The first two genera for which there are Hurwitz's curves are $g \in \{3,7\}$. In both situations there is exactly one such curve up to conformal equivalence, in particular, in both cases the field of moduli is ${\mathbb Q}$. As these two curves are quasiplatonic curves, they are definable over ${\mathbb Q}$. The Hurwitz's curve of genus $g=3$ is given by Klein's quartic $x^3y+y^3z+z^3x=0$. The Hurwitz's curve of genus $g=7$ is known as Fricke-Macbeath's curve and equations over ${\mathbb Q}(ρ)$, where $ρ=e^{2 πi/7}$, are known due to Macbeath. Unfortunately, explicit equations over ${\mathbb Q}$ are not easy to find for this curve. In this paper we first explain how to construct an explicit model $Z_{2}$ of Fricke-Macbeath's curve over ${\mathbb Q}(\sqrt{-7})$ and an explicit isomorphism $L_{1}:X o Z_{2}$, defined over ${\mathbb Q}(ρ)$. Next, using that explicit model we construct another explicit isomorphism $L_{2}:Z_{2} o W$, defined over ${\mathbb Q}(\sqrt{-7})$, where $W$ is some algebraic curve defined over ${\mathbb Q}$. Unfortunately, the equations for $W$ are quite long to write down, but everything is explained in order to perform the computations in a computer.

研究の動機と目的

• フリッケ＝マクビース曲線が既に ρ = e²πi/7 を用いて ℚ(ρ) 上に定義されているにもかかわらず、ℚ(√−7) 上に明示的代数的モデルを構成すること。
• マクビーの元のモデル X を ℚ(ρ) 上に定義し、計算代数幾何学的手法を用いて、ℚ 上に定義された新しい曲線 W への有理同型写像を提供すること。
• 6次元巡回群作用の下でのガロア不変量を直接計算することが困難である問題を、2段階に分けて解決する：まず ℚ(√−7) 上に中間的モデル Z₂ を構成し、その後 ℚ に降下すること。
• フリッケ＝マクビース曲線が、そのモジュライ体として定義可能であることは知られているが、文献には明示的方程式が存在しないことの確認と、計算的に実行可能な構成によってこのギャップを埋めること。

提案手法

• Weil のガロア降下定理の構成的版を用い、ℚ(ρ)/ℚ のガロア群が曲線のモデルに作用することを根拠に、曲線を ℚ(ρ) から ℚ(√−7) に降下させる。
• 24次元の多項式空間に作用する位数 6 の巡回群の下での不変量を計算するコンピュータ支援計算により、ℚ(√−7) 上に中間的モデル Z₂ を構成する。
• ℚ(ρ) 上に定義された明示的同型写像 L₁: X → Z₂ を計算し、その逆写像も併記する。これにより、マクビーの元の式を新しい座標系に変換可能である。
• ℚ(√−7) 上に定義された第二の同型写像 L₂: Z₂ → W を構成し、W を ℚ 上に定義された曲線とする。不変量理論と計算代数を用いて ℚ への降下を達成する。
• ガロア作用の完全な不変量生成子を直接計算するのを避けるために、曲線の自己同型群の対称性を活用し、ガロア作用を管理可能なステップに分解する。
• すべての構成は、MAGMA などのコンピュータ代数システムで実装可能であり、重要な変換の明示的公式を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フリッケ＝マクビース曲線が既に円分体 ℚ(ρ) 上に定義されているにもかかわらず、実二次体 ℚ(√−7) 上に明示的モデルを構成することは可能か？
• RQ2 計算的降下手法を用いて、ℚ(ρ) 上に定義されたマクビーの元のモデルから、ℚ 上に定義された曲線への有理同型写像を計算することは可能か？
• RQ3 6次元ガロア群の下での不変性条件を、直接計算が困難な状況でも効果的に実装するにはどうすればよいか？
• RQ4 ℚ(√−7) 上に定義された中間的モデル Z₂ の構造は何か？ そして、それが ℚ 上のモデル W への降下をどのように支援するか？
• RQ5 完全な降下プロセスを、明示的公式として実装可能であり、記号計算システムに適した形で実行可能か？

主な発見

• 本稿は、ℚ(√−7) 上に定義されたフリッケ＝マクビース曲線の最初の既知の明示的モデル Z₂ を構成した。これは ℚ 上のモデルへの重要な一歩である。
• ℚ(ρ) 上に定義された明示的同型写像 L₁: X → Z₂ が提供され、その逆写像も併記されている。これにより、マクビーの元の式を新しい座標系に変換可能である。
• ℚ(√−7) 上に定義された第二の同型写像 L₂: Z₂ → W が構成され、W は ℚ 上に定義された代数的曲線である。これにより、ℚ への降下が達成された。
• 最終的な曲線 W は、変数 t₁, t₃, t₁₁, t₁₂, t₁₃, t₁₄, t₁₅, t₁₆, t₁₇, t₁₈, t₁₉, t₂₀, t₂₁, t₂₂, t₂₃, t₂₄ を用いた長大な方程式系によって明示的に定義され、係数は ℚ に属する。
• W の方程式は非常に長いため、完全に記述することは不可能であるが、本稿ではコンピュータ代数システムを用いた計算のための完全なアルゴリズムフレームワークを提供する。
• すべての構成が、ガロア作用 σ ∈ Gal(ℚ(ρ)/ℚ) に対して W^σ = W を満たすことを示すことで検証され、W が実際に ℚ 上に定義されていることが確認された。