[論文レビュー] A concise guide to complex Hadamard matrices

Wojciech Tadej, Karol Życzkowski|ArXiv.org|Dec 19, 2005

graph theory and CDMA systems参考文献 32被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、次元 N = 2 から 16 における非同値な複素ヒルベルト行列の包括的かつ最新の目録を提供し、既知の族を体系的にレビューするとともに、N = 12, 14, 16 について以前に発表されていなかった族を明示的に構成している。複素ヒルベルト行列はすべての N に対して存在するが、N = 5 を超えると完全な分類は未解決であり、主な未解決事項は N = 6, 11, 16 に存在する。

ABSTRACT

Complex Hadamard matrices, consisting of unimodular entries with arbitrary phases, play an important role in the theory of quantum information. We review basic properties of complex Hadamard matrices and present a catalogue of inequivalent cases known for dimension N=2,...,16. In particular, we explicitly write down some families of complex Hadamard matrices for N=12,14 and 16, which we could not find in the existing literature.

研究の動機と目的

• N = 2 から 16 のすべての既知の非同値な複素ヒルベルト行列を収集・体系化すること。
• 文献に以前に記載されていなかった複素ヒルベルト行列の新規族、特に N = 12, 14, 16 について特定し、明示的に提示すること。
• 複素ヒルベルト行列の存在および分類に関する現在の知識状況を明確にすること。特に、量子情報および組合せ論における未解決問題と関連して。
• 非同値な行列の参照目録（パラメータ化された族および孤立例を含む）を提供し、量子情報および関連数学分野のさらなる研究を支援すること。

提案手法

• ボツン型行列およびその一般化を含む、複素ヒルベルト行列に関する既存の文献を体系的にレビューすること。
• 既知のパラメトリック形および対称性の低減を用いて、N = 12, 14, 16 について新規族の明示的構成を行うこと。
• ユニタリ同値性および位相正規化を用いて、対角行列および置換行列の作用による同値類への分類を行うこと。
• フーリエ行列 F_N を標準的な出発点とし、摂動および変形を用いて連続的族を生成すること。
• ユニタリ行列の構造を解析するため、群論的および代数的技法を適用すること。
• F^{(k)}_N, C^{(k)}_N, S^{(k)}_N, D^{(k)}_N, P^{(k)}_N およびその転置行列などの既知の族を、可能な限り明示的なパラメータ範囲とともに目録化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の族以外に、N = 6 の非同値な複素ヒルベルト行列は存在するか？
• RQ2 N = 6 の既知の族の完全なパラメータ範囲は何か？ その範囲内ではすべての行列が非同値であることが保証されるか？
• RQ3 N = 11 に対して連続的族の複素ヒルベルト行列が存在するか？
• RQ4 N = 16 または N = 20 の非同値な実ヒルベルト行列は、すべて連続的族に属するか、それとも一部が孤立しているか？
• RQ5 どの次元 N に対して、アフィン族や高次元のアフィン族に含まれない連続的族の複素ヒルベルト行列が存在するか？

主な発見

• 非同値な複素ヒルベルト行列の目録は、N = 2, 3, 4, 5 のみで完全に網羅されている。N ≥ 6 の場合、完全な集合は未解明のままである。
• N = 12 については、F^{(9)}_{12A}, F^{(9)}_{12B}, F^{(9)}_{12C}, F^{(9)}_{12D} およびその転置行列に加え、FD^{(8)}_{12}, FC^{(7)}_{12}, FS^{(7)}_{12}, DD^{(7)}_{12}, DC^{(6)}_{12}, DS^{(6)}_{12}, CC^{(5)}_{12}, CS^{(5)}_{12}, SS^{(5)}_{12} といった明示的族を提示している。
• N = 14 については、F^{(6)}_{14} およびその転置行列、FP^{(7)}_{14}, FC^{(6)}_{14k} (k ∈ {A,B,C,D})、PP^{(8)}_{14}、PC^{(7)}_{14k}、CC^{(6)}_{14lm}（特定のインデックスペアに対して）といった新規族を同定している。
• N = 16 については、F^{(17)}_{16} およびその他の族を含んでいるが、完全な分類は未完成のままである。
• N = 6 は、非同値な複素ヒルベルト行列の完全な集合が未知である最小の次元であり、同時に MUB 問題が未解決のままの最小の次元である。
• 本稿は、すべての N に対して複素ヒルベルト行列が存在することを確認しているが、分類問題は未解決であり、特に素数べきでない合成数 N に対して顕著である。