[논문 리뷰] A constructive approach to affine and projective planes

Achilleas Kryftis|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 19.

Manufacturing Process and Optimization참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 체 대신 국소환을 사용하여 아핀 및 사영 평면에 대한 구축적 접근을 개발하며, 이러한 환 위에서 데자르그의 정리와 파푸스의 정리를 확립한다. 이는 추적을 보존하는 호모모르피즘을 통해 아핀 평면에서 국소환을 구성하고, 아핀 및 사영 평면의 분류 토포스가 군 작용에 의한 자리스키 토포스의 확장임을 보여주며, 깊이 있는 기하학적 및 토포이론적 이중성을 드러낸다.

ABSTRACT

In classical geometric algebra, there have been several treatments of affine and projective planes based on fields. In this thesis we approach affine and projective planes from a constructive point of view and we base our geometry on local rings instead of fields. We start by constructing projective and affine planes over local rings and establishing forms of Desargues' Theorem and Pappus' Theorem which hold for these. From this analysis we derive coherent theories of projective and affine planes. The great Greek mathematicians of the classical period used geometry as the basis for their theory of quantities. The modern version of this idea is the reconstruction of algebra from geometry. We show how we can construct a local ring whenever we are given an affine or a projective plane. This enables us to describe the classifying toposes of our theories of affine and projective planes as extensions of the Zariski topos by certain group actions. Through these descriptions of the classifying toposes, the links between the theories of local rings, affine and projective planes become clear. In particular, the geometric morphisms between these classifying toposes are all induced by group homomorphisms even though they demonstrate complicated constructions in geometry. In this thesis, we also prove results in topos theory which are applied to these geometric morphisms to give Morita equivalences between some further theories.

연구 동기 및 목표

• 체 대신 국소환을 기반으로 하여 아핀 및 사영 평면에 대한 구축적 기하학 프레임워크를 개발하기.
• 국소환 위에서 데자르그의 정리와 파푸스의 정리의 판본을 확립하여, 구축적 환경에서 기하학적 일관성을 확보하기.
• 확대, 이동, 추적을 보존하는 호모모르피즘을 사용하여 아핀 평면으로부터 국소환을 재구성하기.
• 아핀 및 사영 평면 이론의 분류 토포스를 군 작용에 의한 자리스키 토포스의 확장으로 묘사하여, 구조적 이중성을 드러내기.
• 기하학적 호모모르피즘이 복잡한 기하학일지라도 군 준동형사상에서 유래됨을 보여주기.

제안 방법

• 인cidense 구조와 이중성 원리를 사용하여 국소환 위에서 사영 및 아핀 평면을 구축하기.
• 사전사영 및 사전아핀 평면 간의 호모모르피즘을 정의하고, 이들이 환 위로 올라가는 조건을 확립하기.
• 확대와 이동을 추적을 보존하는 내면형사상으로 정의하는 기하학적 도구로 사용하여 국소환의 구조를 정의하기.
• 자리스키 토포스 내의 일반 국소환을 사용하여 좌표계를 구성하고, 이를 $H$- torsor 및 군 작용과 연결하기.
• 디아코네스쿠의 정리와 $χ[G]$ 토포스의 구성과 같은 토포이론적 기법을 적용하여 분류 토포스를 분석하기.
• 군 작용과 torsor를 통해 $χ$, $×𝔸𝔹$, 및 $×𝔸𝔺$ 간의 기하학적 호모모르피즘을 확립하고, 항등사상을 포함한 동형사상들을 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데자르그의 정리와 파푸스의 정리는 체 대신 국소환 위에서 구축적으로 서술되고 증명될 수 있는가?
• RQ2 단지 인cidense와 대칭 데이터만을 사용하여 아핀 평면의 기하학적 구조로부터 국소환을 재구성할 수 있는가?
• RQ3 아핀 평면의 분류 토포스와 군 작용에 의한 확장된 자장스키 토포스 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 이중성에도 불구하고 일반 사영 평면의 점의 객체와 선의 객체가 서로 동형이 아니라는 이유는 무엇인가?
• RQ5 아핀 및 사영 평면의 분류 토포스 간의 기하학적 호모모르피즘은 군 준동형사상에서 어떻게 유도되는가?

주요 결과

• 데자르그의 정리와 파푸스의 정리는 국소환 위의 사영 및 아핀 평면에서 성립하며, 체의 가정이 필요 없는 구축적 증명을 제공한다.
• 아핀 평면의 국소환은 그 이동군의 추적을 보존하는 호모모르피즘의 링으로 구성되며, 이는 대수학적 재구성의 기하학적 방법을 제공한다.
• 아핀 평면의 분류 토포스는 $χ[G]$와 동치이며, $G$는 일반 국소환의 자기동형군이고, 이 토포스는 $G$-torsor 토포스의 슬라이스이다.
• 사영 평면의 분류 토포스는 $H$가 사영 변환군일 때 $χ[H]$이며, 이 토포스는 자장스키 토포스 위에서 $H$-torsor를 통해 구성된다.
• 일반 사영 평면에서 점의 객체에서 선의 객체로의 사상이 존재하지 않으며, 이 둘은 서로 동형이 아니며, 특정 모델에서 전역 단위의 존재 여부가 다름으로 인해 그러한 이유가 있다.
• $χ[G]$, $×𝔸$, 및 $×𝔹$ 간의 기하학적 호모모르피즘 $f_{×𝔸}$ 및 $f_{×𝔹}$은 서로의 역동형을 이루며, 이는 $×𝔸$와 $×𝔹$가 토포스 확장에 의해 모리타 동치임을 증명한다.