[論文レビュー] A continuous/discontinuous Galerkin solution of the shallow water equations with dynamic viscosity, high-order wetting and drying, and implicit time integration

Simone Marras, Michal A. Kopera+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Meteorological Phenomena and Simulations参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、動的粘性、高次元の湿潞性・乾性、および陰解法時間積分を備えた浅い水方程式の高次連続/不連続ガラーキン（CG/DG）法を提示する。残留に基づくサブスケール粘性を用いて、調整なしに急峻な波面付近のギブズ振動を抑制し、粗いグリッドでも精度と安定性を保持する。また、ESDIRK時間積分を用いることでCFL数を10倍にまで拡大し、安定なシミュレーションを可能にする。

ABSTRACT

The high-order numerical solution of the non-linear shallow water equations (and of hyperbolic systems in general) is susceptible to unphysical Gibbs oscillations that form in the proximity of strong gradients. The solution to this problem is still an active field of research as no general cure has been found yet. In this paper, we tackle this issue by presenting a dynamically adaptive viscosity based on a residual-based sub-grid scale model that has the following properties: $(i)$ it removes the spurious oscillations in the proximity of strong wave fronts while preserving the overall accuracy and sharpness of the solution. This is possible because of the residual-based definition of the dynamic diffusion coefficient. $(ii)$ For coarse grids, it prevents energy from building up at small wave-numbers. $(iii)$ The model has no tunable parameter. Our interest in the shallow water equations is tied to the simulation of coastal inundation, where a careful handling of the transition between dry and wet surfaces is particularly challenging for high-order Galerkin approximations. In this paper, we extend to a unified continuous/discontinuous Galerkin (CG/DG) framework a very simple, yet effective wetting and drying algorithm originally designed for DG [Xing, Zhang, Shu (2010)]. We show its effectiveness for problems in one and two dimensions on domains of increasing characteristic lengths varying from centimeters to kilometers. Finally, to overcome the time-step restriction incurred by the high-order Galerkin approximation, we advance the equations forward in time via a three stage, second order explicit-first-stage, singly diagonally implicit Runge-Kutta (ESDIRK) time integration scheme. Via ESDIRK, we are able to preserve numerical stability for an advective CFL number 10 times larger than its explicit counterpart.

研究の動機と目的

• 強い勾配や波面付近における高次ガラーキン解の物理的でないギブズ振動を解消すること。
• 必要な箇所でのみ作動する、パラメータフリーの安定化手法を開発し、解の精度と鋭さを保持すること。
• 小波数領域でのエネルギー蓄積を防ぐことで、粗いグリッド上でも高次スムーズなシミュレーションを可能にすること。
• DG専用の湿潞性・乾性アルゴリズムを統合的CG/DGフレームワークに拡張し、高次精度と正値性を維持すること。
• 高次ガラーキン法の時間ステップ制限を、CFL数が10倍大きな陰解法ESDIRK時間積分スキームにより克服すること。

提案手法

• 残留に基づく動的サブスケール（Dyn-SGS）粘性モデルを実装し、残留の大きさに応じて勾配が急な領域でのみ拡散を自動的に追加する。
• 連続および不連続ガラーキン式にDyn-SGSモデルを統合し、ユーザーによる調整なしに高次解を安定化する。
• DG用に開発された勾配制限子をCGに適応させるために、乾燥領域における薄い水層と組み合わせる。これにより、移動境界での高次精度と滑らかさを維持する。
• 3段階、2次精度、最初の段階が明示的な、単一対角陰解法ルンゲ＝クッタ（ESDIRK）スキームを用い、明示法と比較してCFL数を10倍にまで拡大可能な安定な時間積分を実現する。
• 1次元および2次元の浅い水方程式のテストケース（単一の丘、沿岸浸水問題など）に本手法を適用し、センチメートルからキロメートルスケールにわたる性能を検証する。
• 運動エネルギースペクトルを計算し、解のエネルギー的挙動を評価し、人工粘性の数値的安定性および精度への影響を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 残留に基づく動的粘性は、解の鋭さを損なわせることなく、高次CG/DG解における浅い水方程式のギブズ振動を効果的に抑制できるか？
• RQ2 粗いグリッド上でのCGおよびDG式において、Dyn-SGSモデルは小波数領域でのエネルギー蓄積を効果的に防げるか？
• RQ3 DG専用の湿潞性・乾性アルゴリズムを統合的CG/DGフレームワークに拡張しても、高次精度と正値性を維持できるか？
• RQ4 ESDIRK時間積分スキームは、高次ガラーキンシミュレーションにおける安定性をどの程度向上させ、より大きな時間ステップを可能にするか？
• RQ5 DGに内在する散逸性がある状況下でも、残留に基づく活性化が低需要領域では追加拡散を最小限に抑え、Dyn-SGSモデルが効果的かつ自己調整的であるか？

主な発見

• Dyn-SGSモデルは、CGおよびDG両解の急峻な波面付近でギブズ振動を効果的に抑制し、全体の解の鋭さや精度を損なわない。
• 粗いグリッド（Δx ≥ 0.4 m）上では、Dyn-SGSモデルが最高周波数モードにおける物理的でないエネルギー蓄積を防ぎ、CGおよびDG両式において数値的安定性を確保する。
• モデルはパラメータフリーかつ自己調整的である：残留が強い勾配を示す領域でのみ作動し、滑らかな領域では非活性のままとなる。
• ESDIRK時間積分スキームにより、明示法と比較してCFL数が10倍にまで拡大可能な安定なシミュレーションが可能となり、計算効率が著しく向上する。
• 拡張された湿潞性・乾性アルゴリズムは、1次元および2次元問題において、名目上の高次精度を維持するとともに、移動する乾湿境界での解の滑らかさを保つ。
• エネルギースペクトルの比較から、安定化されたCGおよびDG解は、非粘性解と比較して、特に粗い解像度下でより良好なエネルギー的挙動を示す。