[論文レビュー] A contribution to the Zarankiewicz problem

Vladimir Nikiforov|ArXiv.org|Mar 31, 2009

Graph theory and applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Kövari, Sós, および Turán や Füredi の古典的結果を改善する、Zarankiewicz 問題の新しい家族の上界を提示する。行列要素に対する帰納的アプローチとスぺクトルグラフ理論を用いて、$K_{s,t}$-自由グラフにおける最大辺数の tighter な上界を確立し、その結果、このようなグラフにおけるスぺクトル半径と辺数の推定値が向上する。

ABSTRACT

Given positive integers m,n,s,t, let z(m,n,s,t) be the maximum number of ones in a (0,1) matrix of size m-by-n that does not contain an all ones submatrix of size s-by-t. We find a flexible upper bound on z(m,n,s,t) that implies the known bounds of Kovari, Sos and Turan, and of Furedi. As a consequence, we find an upper bound on the spectral radius of a graph of order n without a complete bipartite subgraph K_{s,t}.

研究の動機と目的

• すべての $s \times t$ のすべて1の部分行列を含まない $m \times n$ の $(0,1)$-行列における1の最大個数を求める、Zarankiewicz 問題 $z(m,n,s,t)$ の既存の上界を改善すること。
• Kövari, Sós, および Turán の古典的結果と Füredi の結果を、パラメータ化された不等式族を導入することで拡張・精緻化すること。
• 新しい行列上界を用いて、$K_{s,t}$-自由グラフにおけるよりタイトなスぺクトル半径と辺数の上界を導出すること。
• 友達グラフや強正則グラフなどの特定のケースにおいて、上界のタイトさを示すこと。
• 特定のパrameter 範囲において、新しい上界が下位項を除いて漸近的に最適であることを示すこと。

提案手法

• パラメータ $k \in \{0, \dots, s-2\}$ における帰納的アプローチにより、$z(m,n,s,t)$ の新しい上界族を導出。Kövari–Sós–Turán の結果を一般化する。
• すべての $k = 0, \dots, s-2$ に対して不等式 $z(m,n,s,t) \leq (s-k-1)^{1/t} n m^{1-1/t} + (t-1) m^{1+k/t} + k n$ を確立し、これにより先行研究の結果を包含・改善する。
• 行列上界を二部グラフに適用し、隣接行列のスぺクトル半径 $\mu$ と最大辺数との関係をスぺクトルグラフ理論を用いて関係づける。
• 固有値の入れ子とレイリー商を用いて $\mu$ を上界づけ、$K_{s,t}$-自由グラフに対して $\mu \leq (s-k-1)^{1/t} n^{1-1/t} + (t-1) n^{k/t} + k$ を導出する。
• $k$ における最適化により、特に $s \geq t \geq 3$ の場合に $k = t-2$ を設定することで、最もタイトなスぺクトル半径上界を得る。
• Erdős–Rényi の極性グラフや、共通近傍数が定数である強正則グラフなどの構成により、上界のタイトさを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ化された不等式族を導入することで、古典的 Zarankiewicz 問題の上界を改善できるか？
• RQ2 $K_{s,t}$-自由グラフの位数 $n$ におけるスぺクトル半径 $\mu$ の最良の上界は何か？
• RQ3 新しい上界は、Füredi や Kövari–Sós–Turán の結果と比べて、漸近的にタイトか？
• RQ4 新しい上界が下位項を除いて達成可能な明示的グラフ構成は存在するか？
• RQ5 導出された不等式におけるパラメータ $k$ は、$m$ と $n$ が非対称な場合に、より良い上界を得るために利用可能か？

主な発見

• 本稿では、$k = 0, \dots, s-2$ に対して $z(m,n,s,t) \leq (s-k-1)^{1/t} n m^{1-1/t} + (t-1) m^{1+k/t} + k n$ という新しい上界族を確立し、これにより先行研究を一般化・改善する。
• $s \geq t \geq 3$ の場合、$k = t-2$ を設定することで $\mu \leq (s-t+1)^{1/t} n^{1-1/t} + (t-1) n^{1-2/t} + t - 2$ が得られ、Füredi の上界を改善する。
• $t=2$ の場合、$\mu \leq \frac{1}{2} + \sqrt{(s-1)(n-1) + \frac{1}{4}}$ は友達グラフで等号成立によりタイトであることが証明される。
• Erdős–Rényi の極性グラフ や Füredi の $K_{s,2}$-自由グラフなどの構成により、下位項を除いて漸近的にタイトであることが示される。
• $s \geq 3$, $t \geq 3$, かつ $n$ が $m$ に対して特定の範囲にある場合、他の $k'$ よりも厳密に良い上界を得るために最適な $k$ を選べることを示し、パラメータ $k$ の有効性を示す。
• 辺数上界 $e(G) < \frac{1}{2}(s-t+1)^{1/t} n^{2-1/t} + \frac{1}{2}(t-1)n^{2-2/t} + \frac{1}{2}(t-2)n$ は、Füredi の結果を下位項の観点から改善する。