[論文レビュー] A convex formulation of strict anisotropic norm bounded real lemma

M. M. Tchaikovsky, Alexander P. Kurdyukov+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Control Systems and Identification参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、確率的摂動が存在するがその確率分布が正確に分かっていない線形離散時間不変系に対して、厳密な異方的ノルムバウンデッドリアルレムマ（SANBRL）の凸最適化定式化を提示する。異方的ノルムバウンディングを線形行列不等式（LMI）と行列式不等式として表現することで、凸最適化を用いた効率的な計算とサブオプティマルな制御則設計が可能となり、従来のホモトピーに基づく手法に比べて数値的取り扱いが著しく容易になる。

ABSTRACT

This paper is aimed at extending the H-infinity Bounded Real Lemma to stochastic systems under random disturbances with imprecisely known probability distributions. The statistical uncertainty is measured in entropy theoretic terms using the mean anisotropy functional. The disturbance attenuation capabilities of the system are quantified by the anisotropic norm which is a stochastic counterpart of the H-infinity norm. A state-space sufficient criterion for the anisotropic norm of a linear discrete time invariant system to be bounded by a given threshold value is derived. The resulting Strict Anisotropic Norm Bounded Real Lemma involves an inequality on the determinant of a positive definite matrix and a linear matrix inequality. It is shown that slight reformulation of these conditions allows the anisotropic norm of a system to be efficiently computed via convex optimization.

研究の動機と目的

• 摂動分布の統計的不確実性を有する確率的システムへの ${\mathcal{H}_{\infty}}$ バウンデッドリアルレムマの拡張を図ること。
• 与えられたしきい値以下の異方的ノルムを有するかどうかを検証する数値的に取り扱いやすい基準を確立すること。
• 凸最適化を用いた異方的ノルムの効率的計算およびサブオプティマルな制御則設計を可能にすること。
• 異方的制御におけるクロスカップルド非線形行列方程式のホモトピーに基づくソルバの計算制限を克服すること。
• 異方的ノルムを ${\mathcal{H}_{2}}$ および ${\mathcal{H}_{\infty}}$ ノルムの極限ケースとして統一すること。

提案手法

• 正定値行列上での線形行列不等式（LMI）および行列式不等式を含む、状態空間における異方的ノルムがしきい値以下に抑えられるための十分条件を導出する。
• SANBRLの条件を再定式化し、凸最適化および半正定値計画法を用いた異方的ノルムの効率的計算を可能にする。
• 平均異方性関数を、摂動分布における統計的不確実性のエントロピー論的測度として用いる。
• 異方的ノルムを ${\mathcal{H}_{\infty}}$ ノルムの確率的同等物として適用し、平均異方性が有界な状況下での摂動抑制を定量化する。
• ベンチマーク系を用いて、ホモトピーに基づくアルゴリズム（HBA）と比較して計算性能を検証する。
• 本手法が、入力の平均異方性レベルが変化しても一貫した性能を維持することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形離散時間不変系の異方的ノルムは、凸最適化フレームワークを用いて検証可能か？
• RQ2 SANBRLにおける行列式不等式およびLMI条件は、どのように再定式化され、効率的計算が可能になるか？
• RQ3 提案された凸定式化は、既存のホモトピーに基づくソルバーよりもどのような計算的利点を有するか？
• RQ4 ${\mathcal{H}_{2}}$ および ${\mathcal{H}_{\infty}}$ ノルムは、異方的ノルムの極限ケースとしてどのように現れるか？
• RQ5 提案手法は、統計的不確実性（平均異方性）のレベルが変化しても、ロバスト性および一貫性のある性能を維持するか？

主な発見

• 提案されたSANBRLの凸定式化により、凸最適化および半正定値計画法を用いた異方的ノルムの効率的計算が可能になった。
• 凸最適化手順（COP）の平均CPU時間は、平均異方性レベルに関わらずほぼ一定であり、平均3.62秒であった。一方、ホモトピーに基づくアルゴリズム（HBA）は、$a$ の増加に伴い計算時間が増加した。
• COPの成功率は約92.5–93.3%で安定しており、HBAの成功率は$a$ が0から20に増加するにつれ、93.2%から26.5%に低下した。
• HBAの最大反復回数制限に達する実行失敗の割合は、$a$ の増加に伴い0%から38.3%に上昇したが、COPの失敗率は13%未満で安定していた。
• 異方的ノルム定式化は、${\mathcal{H}_{\infty}}$ 制御に比べて保守的でなく、相関する摂動に対して${\mathcal{H}_{2}}$ 制御よりも優れた性能を示した。
• ${\mathcal{H}_{\infty}}$ ノルムおよび ${\mathcal{H}_{2}}$ ノルムは、それぞれ平均異方性 $a$ が0または無限大に近づく極限において、異方的ノルムの極限ケースとして回復される。