[論文レビュー] A convexity theorem for real projective structures

Jaejeong Lee|ArXiv.org|May 27, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、凸 $n$-多面体をその側面に沿って貼り合わせて得られる実射影多様体が凸または適切に凸であるための十分条件を確立する。残留凸性条件（隣接する2つの多面体が側面を共有するとき、それらの和集合が凸である）を用いて、三角多面体が存在しない場合にはその構造が凸であることを、さらに一部の多面体の双対が「厚い」ならば適切に凸であることを証明する。この結果は、平面における凸性定理を高次元の実射影幾何学へ一般化するものである。

ABSTRACT

Given a finite collection P of convex n-polytopes in RP^n (n>1), we consider a real projective manifold M which is obtained by gluing together the polytopes in P along their facets in such a way that the union of any two adjacent polytopes sharing a common facet is convex. We prove that the real projective structure on M is (1) convex if P contains no triangular polytope, and (2) properly convex if, in addition, P contains a polytope whose dual polytope is thick. Triangular polytopes and polytopes with thick duals are defined as analogues of triangles and polygons with at least five edges, respectively.

研究の動機と目的

• 凸 $n$-多面体を貼り合わせて得られる実射影多様体が凸または適切に凸であるための十分条件を確立すること。
• Kapovichが提唱した平面における凸性定理を、多面体的および双対性の条件を用いて高次元へ一般化すること。
• 三角多面体と「双対が厚い多面体」をそれぞれ、三角形および五角形の高次元版として定義し、特徴づけること。
• 反射群や無限複体に基づく既存の結果とは別個の、実射影構造の凸性基準を提供すること。
• 平面のタイル張りから高次元の射影多様体への残留凸性条件の拡張を、組合せ論的および幾何学的技法を用いて行うこと。

提案手法

• 任意の2つの隣接する $n$-多面体が側面を共有するとき、それらの和集合が $\mathbb{S}^n$ 内で凸であるようなセル複体を、残留凸 $n$-複体と定義する。
• 双対が「厚くない」$n$-多面体として「三角多面体」を定義し、$\mathbb{R}^2$ 内の三角形を一般化する。
• 各リッジリンクに5つ以上の側面を持つ双対多面体を「厚い双対」と定義し、5本以上の辺を持つ多角形を一般化する。
• 発展写像 $dev: \tilde{M} \to \mathbb{S}^n$ を用いて射影構造を被覆空間に持ち上げ、残留凸性を用いて像を解析する。
• 曲率が下から有界なアレクサンドロフ空間における凸性に関する結果を適用し、発展写像による像の全体的凸性を導出する。
• 双対性および球面幾何学を用いて複体内のリンクと残留構造を解析し、必要な位相的および幾何学的制約を満たしていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸 $n$-多面体を貼り合わせて得られる実射影多様体が、全体として凸であるための条件は何か？
• RQ2 このような多様体が凸であるだけでなく、閉包に射影的直線を含まない「適切に凸」であるための条件は何か？
• RQ3 Kapovichが提唱した、三角形を含まない、あるいは五角形を含む平面のタイル張りに関する凸性定理は、どのように高次元へ一般化できるか？
• RQ4 多面体およびその双対の組合せ論的・幾何学的性質のうち、得られる射影構造の凸性を保証するものは何か？
• RQ5 残留凸性だけでは全体的凸性を保証できるか？適切に凸性を保証するにはどのような追加条件が必要か？

主な発見

• 有限個の凸 $n$-多面体から成る族に三角多面体が存在せず、かつ隣接する多面体のペアが射影的側面ペアリングにより貼り合わされ、その和集合が凸であるならば、対応する実射影多様体は凸である。
• さらに、その族の中に双対が「厚い」（各リッジリンクに5つ以上の側面を持つ）多面体が存在するならば、対応する多様体は適切に凸である。
• 上記の条件下で、普遍被覆空間から $\mathbb{S}^n$ への発展写像は、（適切に）凸領域への射影的同型写像である。
• 証明は、構造を普遍被覆空間に持ち上げ、アレクサンドロフ空間および球面多面体の性質を用いて残留凸性から全体的凸性を導出することに依拠する。
• 本結果は、平面における凸性定理を高次元へ一般化し、反射群や無限複体の仮定に依存しない新しい基準を提供する。
• この枠組みは、反射的でない貼り合わせ写像にも適用可能であり、ヴィンバーグの基本領域定理やKapovichの無限多面体複体に関する結果ではカバーされない場合を含む。