[論文レビュー] A Cook's Tour of the Finitary Non-Well-Founded Sets

Samson Abramsky|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、帰納的有限集合の距離空間およびストーン空間的完備化としての、有限的非整礎集合の位相的宇宙を提示する。この宇宙は、距離空間的完備化、ヴェトリス構成、自由モダール代数のストーン双対性、およびプロットキンのパワー領域を含むドメイン方程式という、五つの相互に関連する枠組みによって特徴づけられる。主たる貢献は、非整礎集合および普遍集合を支持する、一貫性があり計算的に意味のある集合論の統一的モデルであり、位相的および論理的制約を通じてZFC公理の連続的版が得られる。

ABSTRACT

We give multiple descriptions of a topological universe of finitary sets, which can be seen as a natural limit completion of the hereditarily finite sets. This universe is characterized as a metric completion of the hereditarily finite sets; as a Stone space arising as the solution of a functorial fixed-point equation involving the Vietoris construction; as the Stone dual of the free modal algebra; and as the subspace of maximal elements of a domain equation involving the Plotkin (or convex) powerdomain. These results illustrate the methods developed in the author's 'Domain theory in logical form', and related literature, and have been taken up in recent work on topological coalgebras. The set-theoretic universe of finitary sets also supports an interesting form of set theory. It contains non-well founded sets and a universal set; and is closed under positive versions of the usual axioms of set theory.

研究の動機と目的

• 帰納的有限集合の枠組みを超えて整礎的でないパラダイムにまで拡張される、整合的で計算的に意味のある非整礎集合論のモデルを構築すること。
• 同一の数学的対象（有限的非整礎集合の空間）を、距離的、位相的、論理的、ドメイン理論的という複数の記述が統合されることを実現すること。
• この宇宙が、分離、置換、選択といった公理の連続的版を備えた一貫性のある非古典的集合論を支持できることを示すこと。
• ドメイン理論およびストーン双対性が、特にモダール論理およびコアルゲブラの文脈において、計算的・論理的構造をモデル化する上で有効であることを示すこと。
• トポロジカルコアルゲブラおよび非整礎集合論の基礎的枠組みを提供し、コンピュータサイエンスおよび論理学における実用的関連性を持つこと。

提案手法

• 有限近似の構造から導かれる自然な距離の下で、帰納的有限集合の距離的完備化として、宇宙を構築する。
• 冪集合関手へのヴェトリス構成を用いた関手的不動点方程式の解として、空間を特徴づける。
• 空間と自由モダール代数との間のストーン双対性を確立し、自由モダール代数のストーン空間がまさにこの宇宙であることを示す。
• プロットキン（凸）パワー領域の構成を含むドメイン方程式における最大元の部分空間として、空間をモデル化する。
• 空間とその展開との同型を用いて、位相的に整合的な方法で所属関係および集合論的演算を定義する。
• 連続性を保証するための論理式への句法学的制限を課し、標準的集合論的公理の連続的版を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰納的有限集合の極限完備化の位相的・距離的構造は何か？ そして、非整礎集合をどのように支持するか？
• RQ2 自由モダール代数のストーン空間はどのように特徴づけられるか？ また、非整礎集合の論理的構造に何を明らかにするか？
• RQ3 有限的非整礎集合に基づく集合論的宇宙は、分離、置換、選択といったZFC公理の連続的版を、どのような意味で支持できるか？
• RQ4 ドメイン理論的構成、たとえばプロットキンパワー領域とヴェトリス構成は、どのようにして同一の数学的対象を共同で特徴づけるか？
• RQ5 この位相的宇宙において、集合論的演算が連続的かつ適切に定義されるための論理式に必要な句法学的条件は何か？

主な発見

• 有限的非整礎集合の宇宙は、帰納的有限集合の距離的完備化と同型であり、自然な極限構成を提供する。
• 空間は、冪集合関手へのヴェトリス構成を含む不動点方程式の解として生じ、位相と集合論を結ぶ。
• 自由モダール代数のストーン双対としての同型が成立し、モダール論理と非整礎集合論との間に深い関係を確立する。
• 空間は、プロットキンパワー領域を含むドメイン方程式における最大元の部分空間と同型であり、ドメイン理論とコアルゲブラ的意味論を結ぶ。
• 宇宙は外延性を満たし、和集合、シングルトン、二重和集合といった正の集合論的演算に対して閉じており、べき集合公理の連続的版を支持する。
• 特性関数および選択写像の連続性により、分離、置換、選択の連続的版が正当化され、公理は連続関数を生成する論理式に制限される。